kaoyan3basic 概率论与数理统计 第468题
📝 题目
### 第468题 468 将一个骰子重复掷 $n$ 次，各次掷出的点数依次为 $X_{1}, \cdots, X_{n}$ ．则当 $n \rightarrow \infty$ 时， $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ 依概率收敛于 $\_\_\_\_$ ． □
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{7}{2}$ **解析**： 步骤1：掷一次骰子的点数$X_i$服从离散均匀分布，$\displaystyle E(X_i)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{7}{2}$。 步骤2：由辛钦大数定律，$\bar{X}$依概率收敛于$\displaystyle E(X_i)=\frac{7}{2}$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算单次掷骰子点数的期望
骰子点数服从离散均匀分布，每个点数出现的概率均为1/6。期望为(1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 7/2。
公式：E(X_i) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 7/2
提示：注意骰子点数为1到6的整数，等可能。
步骤 2/2
目标：应用辛钦大数定律
由于X_i独立同分布，且期望存在，根据辛钦大数定律，样本均值依概率收敛于期望。
公式：\bar{X} \xrightarrow{P} E(X_i) = \frac{7}{2}
提示：辛钦大数定律要求随机变量独立同分布且期望存在。
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