kaoyan3basic 概率论与数理统计 第469题
📝 题目
### 第469题 469 设随机变量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{2 n}, \cdots$ 独立均服从指数分布 $E(\lambda)$ ，记 $Z_{i}=X_{2 i}-X_{2 i-1}, i= 1,2,3, \cdots$ ，则 $\sum_{i=1}^{n} Z_{i}$ 近似服从正态分布 $N($ $\_\_\_\_$ ， ）．
💡 答案解析
**答案**：$0,\ 2n\lambda^{-2}$ **解析**： 步骤1：$X_i\sim E(\lambda)$，则$\displaystyle E(X_i)=\frac{1}{\lambda}$，$\displaystyle D(X_i)=\frac{1}{\lambda^2}$。 步骤2：$Z_i=X_{2i}-X_{2i-1}$，$E(Z_i)=0$，$\displaystyle D(Z_i)=D(X_{2i})+D(X_{2i-1})=\frac{2}{\lambda^2}$。 步骤3：$\sum_{i=1}^n Z_i$的期望为$0$，方差为$\displaystyle n\cdot\frac{2}{\lambda^2}=\frac{2n}{\lambda^2}$，由中心极限定理近似服从$\displaystyle N(0,\frac{2n}{\lambda^2})$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算单个指数分布的期望和方差
由于X_i服从参数为λ的指数分布，其期望E(X_i)=1/λ，方差D(X_i)=1/λ^2。
公式：E(X_i)=1/λ, D(X_i)=1/λ^2
提示：指数分布的期望和方差是常用结论，需熟记。
步骤 2/4
目标：计算Z_i的期望和方差
Z_i = X_{2i} - X_{2i-1}，由期望线性性质得E(Z_i)=E(X_{2i})-E(X_{2i-1})=0；由独立性和方差性质得D(Z_i)=D(X_{2i})+D(X_{2i-1})=2/λ^2。
公式：E(Z_i)=0, D(Z_i)=2/λ^2
提示：注意方差公式中减法变为加法，因为独立。
步骤 3/4
目标：计算和∑Z_i的期望和方差
∑_{i=1}^n Z_i的期望为∑E(Z_i)=0；方差为∑D(Z_i)=n*(2/λ^2)=2n/λ^2。
公式：E(∑Z_i)=0, D(∑Z_i)=2n/λ^2
提示：独立随机变量和的方差等于方差之和。
步骤 4/4
目标：应用中心极限定理得到近似分布
由中心极限定理，当n充分大时，∑Z_i近似服从正态分布N(0, 2n/λ^2)。
公式：∑Z_i ~ N(0, 2n/λ^2)
提示：中心极限定理要求独立同分布，这里Z_i独立同分布。
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