kaoyan3basic 概率论与数理统计 第470题
📝 题目
### 第470题 470 设相互独立的随机变量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 均服从标准正态分布，记 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ ，则随机变量 $X_{1}-\bar{X}$ 服从的分布及参数为 $\_\_\_\_$ ． C □
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle N(0,\frac{n-1}{n})$ **解析**： 步骤1：$X_i\sim N(0,1)$，$\displaystyle \bar{X}\sim N(0,\frac{1}{n})$。 步骤2：$\displaystyle X_1-\bar{X}=X_1-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i=\frac{n-1}{n}X_1-\frac{1}{n}\sum_{i=2}^n X_i$，为正态分布。 步骤3：$E(X_1-\bar{X})=0$，$\displaystyle D(X_1-\bar{X})=D(X_1)+D(\bar{X})-2\text{Cov}(X_1,\bar{X})=1+\frac{1}{n}-2\cdot\frac{1}{n}=\frac{n-1}{n}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定X1和X̄的分布
由于X_i独立同分布于标准正态分布N(0,1)，样本均值X̄服从正态分布N(0,1/n)。
公式：X̄ ~ N(0, 1/n)
提示：样本均值的方差是总体方差的1/n。
步骤 2/4
目标：将X1-X̄表示为独立正态变量的线性组合
X1 - X̄ = X1 - (1/n)∑_{i=1}^n X_i = (1 - 1/n)X1 - (1/n)∑_{i=2}^n X_i = ((n-1)/n)X1 - (1/n)∑_{i=2}^n X_i。由于X_i独立正态，线性组合仍为正态。
公式：X1 - X̄ = ((n-1)/n)X1 - (1/n)∑_{i=2}^n X_i
提示：注意将X1从求和项中分离出来。
步骤 3/4
目标：计算期望和方差
期望：E(X1 - X̄) = E(X1) - E(X̄) = 0 - 0 = 0。方差：D(X1 - X̄) = D(X1) + D(X̄) - 2Cov(X1, X̄)。其中D(X1)=1，D(X̄)=1/n，Cov(X1, X̄)=Cov(X1, (1/n)∑X_i)= (1/n)Cov(X1, X1)=1/n。所以D=1+1/n-2*(1/n)=1-1/n=(n-1)/n。
公式：D(X1 - X̄) = 1 + 1/n - 2*(1/n) = (n-1)/n
提示：协方差计算：Cov(X1, X̄)=Cov(X1, (1/n)∑X_i)=1/n * Cov(X1, X1)=1/n。
步骤 4/4
目标：得出分布结论
由于正态分布由期望和方差唯一确定，故X1 - X̄服从正态分布N(0, (n-1)/n)。
公式：X1 - X̄ ~ N(0, (n-1)/n)
提示：注意参数是方差，不是标准差。
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