kaoyan3basic 概率论与数理统计 第471题
📝 题目
### 第471题 471 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为取自总体 $X$ 的简单随机样本，已知总体 $X$ 的分布为 $F(x)$ ，则 $Y=\max \left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right)$ 的分布函数 $F_{Y}(y)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$[F(y)]^n$ **解析**： 步骤1：$Y=\max(X_1,\cdots,X_n)$，分布函数$F_Y(y)=P\{Y\leq y\}=P\{X_1\leq y,\cdots,X_n\leq y\}$。 步骤2：由独立同分布，$F_Y(y)=\prod_{i=1}^n P\{X_i\leq y\}=[F(y)]^n$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：写出Y的分布函数定义
由定义，Y的分布函数为F_Y(y)=P{Y≤y}。由于Y是最大值，事件{Y≤y}等价于所有X_i≤y，即F_Y(y)=P{X_1≤y, X_2≤y, ..., X_n≤y}。
公式：F_Y(y)=P{Y≤y}=P{X_1≤y, X_2≤y, ..., X_n≤y}
提示：最大值小于等于y等价于所有变量都小于等于y。
步骤 2/2
目标：利用独立同分布性质计算概率
由于X_i独立同分布，且每个X_i的分布函数为F(x)，所以P{X_i≤y}=F(y)。因此，联合概率等于各概率的乘积：F_Y(y)=[F(y)]^n。
公式：F_Y(y)=∏_{i=1}^n P{X_i≤y}=[F(y)]^n
提示：独立同分布下，联合分布函数等于边缘分布函数的乘积。
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