kaoyan3basic 概率论与数理统计 第472题
📝 题目
### 第472题 472 已知 $(X, Y)$ 的概率密度函数为 $$ f(x, y)=\frac{1}{2 \pi} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}-2 y+1\right)},-\infty
💡 答案解析
**答案**：$F(1,1)$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle f(x,y)=\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{1}{2}[x^2+(y-1)^2]}$，故$X\sim N(0,1)$，$Y-1\sim N(0,1)$且独立。 步骤2：$X^2\sim\chi^2(1)$，$(Y-1)^2\sim\chi^2(1)$，则$\displaystyle \frac{X^2}{(Y-1)^2}=\frac{X^2/1}{(Y-1)^2/1}\sim F(1,1)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：识别概率密度函数的形式
将概率密度函数写为标准形式：f(x,y) = (1/(2π)) e^{-1/2 [x^2 + (y-1)^2]}，可见X与Y-1独立且均服从标准正态分布N(0,1)。
公式：f(x,y) = (1/(2π)) e^{-1/2 (x^2 + (y-1)^2)}
提示：注意将y^2-2y+1配成(y-1)^2。
步骤 2/2
目标：构造F分布
由于X~N(0,1)，Y-1~N(0,1)，则X^2~χ²(1)，(Y-1)^2~χ²(1)。因此X^2/(Y-1)^2 = [X^2/1] / [(Y-1)^2/1] ~ F(1,1)。
公式：F = (U/d1) / (V/d2)，其中U~χ²(d1)，V~χ²(d2)且独立
提示：F分布的定义：分子和分母的自由度分别为1和1。
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