kaoyan3basic 概率论与数理统计 第473题
📝 题目
### 第473题 473 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，而 $\displaystyle X \sim B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ ．记 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ ，则 $\displaystyle P\left\{\overline{\boldsymbol{X}}=\frac{k}{n}\right\}=$ $\_\_\_\_$ $(0 \leqslant k \leqslant n)$ ． □
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle C_n^k\left(\frac{1}{2}\right)^n$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle X\sim B(1,\frac{1}{2})$，则$X_i$独立同分布，$\displaystyle P\{X_i=1\}=\frac{1}{2}$。 步骤2：$\displaystyle \bar{X}=\frac{k}{n}$等价于$\sum_{i=1}^n X_i=k$，服从二项分布$\displaystyle B(n,\frac{1}{2})$。 步骤3：$\displaystyle P\{\bar{X}=\frac{k}{n}\}=C_n^k\left(\frac{1}{2}\right)^k\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}=C_n^k\left(\frac{1}{2}\right)^n$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定总体分布和样本性质
总体X服从参数为1和1/2的二项分布，即X~B(1,1/2)，因此X_i独立同分布，且P{X_i=1}=1/2。
公式：X~B(1,1/2)
提示：注意二项分布B(1,p)即为伯努利分布。
步骤 2/3
目标：将样本均值事件转化为样本和事件
事件{̄X=k/n}等价于{∑_{i=1}^n X_i = k}，因为̄X = (1/n)∑X_i。
公式：̄X = k/n ⇔ ∑X_i = k
提示：样本均值与样本和一一对应。
步骤 3/3
目标：利用二项分布计算概率
∑X_i服从二项分布B(n,1/2)，因此P{∑X_i=k}=C_n^k (1/2)^k (1/2)^{n-k}=C_n^k (1/2)^n。
公式：P{∑X_i=k}=C_n^k p^k (1-p)^{n-k}，其中p=1/2
提示：二项分布概率公式中p=1/2，化简后为C_n^k (1/2)^n。
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