kaoyan3basic 概率论与数理统计 第475题
📝 题目
### 第475题 475 设随机变量 $X \sim t(n), Y \sim F(1, n)$ ，常数 $C$ 满足 $P\{X>C\}=0.6$ ，则 $P\left\{Y>C^{2}\right\}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$0.6$ **解析**： 步骤1：若$X\sim t(n)$，则$X^2\sim F(1,n)$。 步骤2：$P\{X>C\}=0.6$，则$P\{X^2>C^2\}=P\{|X|>C\}=2P\{X>C\}=1.2$不合理，注意$t$分布对称性，$P\{X>C\}=0.6$时$C<0$，故$P\{X^2>C^2\}=P\{X>C\}+P\{X<-C\}=0.6+0.4=1$？需修正： 实际上$P\{X>C\}=0.6$，则$C$为负，$C^2$为正，$P\{Y>C^2\}=P\{X^2>C^2\}=P\{|X|>|C|\}=2P\{X>|C|\}$，而$P\{X>|C|\}=P\{X<-C\}=0.4$，故$P\{Y>C^2\}=0.8$？ 重新计算：由$t$分布对称性，$P\{X>C\}=0.6$得$C<0$，$P\{X<-C\}=0.4$，则$P\{|X|>|C|\}=0.8$，即$P\{Y>C^2\}=0.8$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用t分布与F分布的关系
已知X服从t(n)分布，则X^2服从F(1,n)分布，即Y与X^2同分布。
公式：X ~ t(n) ⇒ X^2 ~ F(1,n)
提示：注意t分布平方后得到F分布，自由度为(1,n)。
步骤 2/3
目标：由概率条件确定C的符号
由于P{X>C}=0.6>0.5，且t分布对称，可知C<0。
公式：t分布对称性：P{X>C}=0.6 ⇒ C<0
提示：t分布关于0对称，概率大于0.5时C在负半轴。
步骤 3/3
目标：计算P{Y>C^2}
P{Y>C^2}=P{X^2>C^2}=P{|X|>|C|}=P{X>|C|}+P{X<-|C|}=2P{X>|C|}。由对称性，P{X>|C|}=P{X<-C}=1-P{X>C}=0.4，故P{Y>C^2}=0.8。
公式：P{Y>C^2}=P{X^2>C^2}=P{|X|>|C|}=2P{X>|C|}=2×0.4=0.8
提示：注意C为负，|C|=-C，且P{X>|C|}=P{X<-C}。
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