kaoyan3basic 概率论与数理统计 第476题
📝 题目
### 第476题 476 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{6}$ 是来自正态分布 $N\left(0, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本．已知统计量 $\displaystyle F=a \frac{X_{1}^{2}+X_{2}^{2}}{X_{3}^{2}+X_{4}^{2}+X_{5}^{2}+X_{6}^{2}}$ 服从 $F\left(n_{1}, n_{2}\right)$ 分布，其中 $a$ 为常数，则参数 $n_{1}$ 和 $n_{2}$ 分别为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$2,\ 4$ **解析**： 步骤1：$X_i\sim N(0,\sigma^2)$，则$\displaystyle \frac{X_1^2+X_2^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(2)$，$\displaystyle \frac{X_3^2+X_4^2+X_5^2+X_6^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(4)$。 步骤2：$\displaystyle F=\frac{(X_1^2+X_2^2)/2}{(X_3^2+X_4^2+X_5^2+X_6^2)/4}=\frac{2}{1}\cdot\frac{X_1^2+X_2^2}{X_3^2+X_4^2+X_5^2+X_6^2}$，故$a=2$，$n_1=2$，$n_2=4$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定每个平方和除以σ²后的分布
由于X_i独立同分布于N(0,σ²)，则X_i/σ ~ N(0,1)。因此，X₁²/σ² + X₂²/σ² ~ χ²(2)，X₃²/σ² + X₄²/σ² + X₅²/σ² + X₆²/σ² ~ χ²(4)。
公式：若Z_i ~ N(0,1)独立，则∑Z_i² ~ χ²(n)
提示：注意标准化
步骤 2/3
目标：构造F统计量
F统计量定义为两个独立卡方变量除以各自自由度之比：F = (U/n₁)/(V/n₂)，其中U ~ χ²(n₁)，V ~ χ²(n₂)。这里U = (X₁²+X₂²)/σ² ~ χ²(2)，V = (X₃²+X₄²+X₅²+X₆²)/σ² ~ χ²(4)。因此F = [U/2] / [V/4] = (2/1) * (X₁²+X₂²)/(X₃²+X₄²+X₅²+X₆²)。
公式：F = (U/n₁)/(V/n₂)
提示：注意自由度对应
步骤 3/3
目标：比较给定统计量与F统计量形式，确定a和自由度
给定统计量F = a * (X₁²+X₂²)/(X₃²+X₄²+X₅²+X₆²)。由步骤2，该统计量等于2 * (X₁²+X₂²)/(X₃²+X₄²+X₅²+X₆²)时服从F(2,4)。因此a=2，n₁=2，n₂=4。
提示：直接对应系数
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。