kaoyan3basic 概率论与数理统计 第477题
📝 题目
### 第477题 477 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $E(\lambda)(\lambda>0)$ 的简单随机样本，记统计量 $\displaystyle T=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}$ ，则 $E T=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{2}{\lambda^2}$ **解析**： 步骤1：$X_i\sim E(\lambda)$，$\displaystyle E(X_i)=\frac{1}{\lambda}$，$\displaystyle E(X_i^2)=D(X_i)+[E(X_i)]^2=\frac{1}{\lambda^2}+\frac{1}{\lambda^2}=\frac{2}{\lambda^2}$。 步骤2：$\displaystyle E(T)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(X_i^2)=\frac{2}{\lambda^2}$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算单个样本的期望和方差
由于总体服从参数为λ的指数分布，其概率密度函数为f(x)=λe^{-λx} (x>0)。指数分布的期望为1/λ，方差为1/λ²。因此，E(X_i)=1/λ，D(X_i)=1/λ²。
公式：E(X_i)=1/λ, D(X_i)=1/λ²
提示：指数分布的期望和方差是常用结论，需熟记。
步骤 2/3
目标：计算E(X_i²)
利用方差公式D(X)=E(X²)-[E(X)]²，可得E(X_i²)=D(X_i)+[E(X_i)]²=1/λ²+1/λ²=2/λ²。
公式：E(X²)=D(X)+[E(X)]²
提示：注意指数分布的二阶矩计算。
步骤 3/3
目标：计算统计量T的期望
T是样本二阶矩的均值，即T=(1/n)∑X_i²。由期望的线性性质，E(T)=(1/n)∑E(X_i²)=E(X_i²)=2/λ²。
公式：E(T)=E(X_i²)
提示：样本均值的期望等于总体期望，此处类似。
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