kaoyan3basic 概率论与数理统计 第480题
📝 题目
### 第480题 480 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自 $X \sim P(\lambda)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 和 $S^{2}$ 分别为样本均值和方差，则统计量 $\displaystyle T=\bar{X}^{2}-\frac{S^{2}}{n}$ 的数学期望 $E T=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{5}$ **解析**： 步骤1：总体$X$分布：$P(X=0)=\theta^2$，$P(X=1)=2\theta(1-\theta)$，$P(X=2)=(1-\theta)^2$，$E(X)=0\cdot\theta^2+1\cdot2\theta(1-\theta)+2\cdot(1-\theta)^2=2-2\theta$。 步骤2：样本均值$\displaystyle \bar{x}=\frac{1}{10}(1+2+1+0+1+0+1+2+1+2)=1.1$。 步骤3：令$E(X)=\bar{x}$，即$2-2\theta=1.1$，解得$\theta=0.45$，但$\displaystyle \theta\in(0,\frac{1}{2})$，故矩估计值为$0.45$？实际$\theta=0.45$不在$(0,0.5)$？$0.45<0.5$，故$\hat{\theta}=0.45$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算总体X的数学期望E(X)
由于X服从泊松分布P(λ)，其数学期望E(X)=λ。
公式：E(X)=λ
提示：泊松分布的期望等于参数λ。
步骤 2/4
目标：计算样本均值X̄的期望和方差
样本均值X̄的期望E(X̄)=E(X)=λ，方差D(X̄)=D(X)/n=λ/n。
公式：E(X̄)=λ, D(X̄)=λ/n
提示：样本均值的期望等于总体期望，方差等于总体方差除以样本容量。
步骤 3/4
目标：计算样本方差S²的期望
样本方差S²是总体方差的无偏估计，即E(S²)=D(X)=λ。
公式：E(S²)=λ
提示：样本方差的无偏性：E(S²)=σ²。
步骤 4/4
目标：计算统计量T的期望E(T)
E(T)=E(X̄² - S²/n)=E(X̄²) - E(S²)/n。其中E(X̄²)=D(X̄)+[E(X̄)]²=λ/n+λ²。所以E(T)=λ/n+λ² - λ/n=λ²。
公式：E(T)=λ²
提示：利用方差公式：E(X²)=D(X)+[E(X)]²。
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