kaoyan3basic 概率论与数理统计 第481题
📝 题目
### 第481题 481 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 来自正态分布 $N\left(0, \sigma^{2}\right)$ 总体 $X$ 的简单随机样本，其样本均值和方差分别为 $\bar{X}$ 和 $S^{2}$ ，已知 $\displaystyle \frac{\bar{X}^{2}}{a}+\frac{S^{2}}{b}$ 服从 $\chi^{2}(m)$ 分布，则 $m=$ $\_\_\_\_$。 □
💡 答案解析
**答案**：$\lambda^2$ **解析**： 步骤1：$X\sim P(\lambda)$，$E(X)=\lambda$，$D(X)=\lambda$，$E(X^2)=\lambda+\lambda^2$。 步骤2：$E(\bar{X})=\lambda$，$E(S^2)=\lambda$，$\displaystyle E(\bar{X}^2)=D(\bar{X})+[E(\bar{X})]^2=\frac{\lambda}{n}+\lambda^2$。 步骤3：$\displaystyle E(T)=E(\bar{X}^2)-\frac{1}{n}E(S^2)=\frac{\lambda}{n}+\lambda^2-\frac{\lambda}{n}=\lambda^2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定样本均值和方差的分布性质
由于总体服从正态分布 N(0, σ²)，样本均值 X̄ ~ N(0, σ²/n)，且 (n-1)S²/σ² ~ χ²(n-1)。同时，X̄ 与 S² 相互独立。
公式：X̄ ~ N(0, σ²/n), (n-1)S²/σ² ~ χ²(n-1)
提示：正态总体下样本均值和样本方差独立是重要性质。
步骤 2/3
目标：构造服从 χ² 分布的统计量
由 X̄ ~ N(0, σ²/n) 得 √n X̄/σ ~ N(0,1)，因此 nX̄²/σ² ~ χ²(1)。又 (n-1)S²/σ² ~ χ²(n-1)。由于两者独立，它们的和服从 χ² 分布，自由度为 1 + (n-1) = n。即 nX̄²/σ² + (n-1)S²/σ² ~ χ²(n)。
公式：nX̄²/σ² + (n-1)S²/σ² ~ χ²(n)
提示：独立 χ² 变量之和仍为 χ²，自由度为自由度之和。
步骤 3/3
目标：将给定表达式与 χ² 分布形式比较
给定表达式为 X̄²/a + S²/b，要使其服从 χ²(m)。对比 nX̄²/σ² + (n-1)S²/σ²，可得 a = σ²/n，b = σ²/(n-1)，且 m = n。
公式：X̄²/a + S²/b = nX̄²/σ² + (n-1)S²/σ² ⇒ a=σ²/n, b=σ²/(n-1), m=n
提示：注意系数匹配，确保每个部分都是标准 χ² 变量。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。