kaoyan3basic 概率论与数理统计 第482题
📝 题目
### 第482题 482 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，$X$ 服从 $\displaystyle E\left(\frac{1}{\lambda}\right)$ 分布，则未知参数 $\lambda$的最大似然估计量 $\hat{\lambda}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$1$ **解析**： 步骤1：$X_i\sim N(0,\sigma^2)$，$\displaystyle \bar{X}\sim N(0,\frac{\sigma^2}{n})$，$\displaystyle \frac{n\bar{X}^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(1)$，$\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$。 步骤2：$\displaystyle \frac{\bar{X}^2}{a}+\frac{S^2}{b}=\frac{\sigma^2}{na}\cdot\frac{n\bar{X}^2}{\sigma^2}+\frac{\sigma^2}{b}\cdot\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$，要服从$\chi^2(m)$，需$\displaystyle \frac{\sigma^2}{na}=1$且$\displaystyle \frac{\sigma^2}{b}=1$，则$m=1+(n-1)=n$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出似然函数
总体X服从指数分布E(1/λ)，概率密度函数为f(x;λ)=λe^{-λx}，x≥0。样本X1,...,Xn独立同分布，似然函数L(λ)=∏_{i=1}^n λe^{-λX_i}=λ^n e^{-λ∑X_i}。
公式：L(λ)=λ^n e^{-λ∑X_i}
提示：注意指数分布参数化形式，通常E(1/λ)表示均值为1/λ，即密度为λe^{-λx}。
步骤 2/4
目标：取对数似然函数
对似然函数取自然对数：ln L(λ)=n ln λ - λ∑X_i。
公式：ln L(λ)=n ln λ - λ∑X_i
提示：取对数便于求导。
步骤 3/4
目标：对λ求导并令导数为0
对ln L(λ)关于λ求导：d/dλ ln L(λ)=n/λ - ∑X_i。令其等于0，得n/λ - ∑X_i=0。
公式：d/dλ ln L(λ)=n/λ - ∑X_i=0
提示：注意求导时λ>0。
步骤 4/4
目标：解出λ的估计量
由n/λ - ∑X_i=0解得λ = n/∑X_i = 1/̄X，其中̄X为样本均值。因此最大似然估计量为̂λ=1/̄X。
公式：̂λ=1/̄X
提示：检查二阶导数是否小于0以确保是最大值。
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