kaoyan3basic 概率论与数理统计 第483题
📝 题目
### 第483题 483 设随机变量 $X$ 在区间 $[0, \theta]$ 上服从均匀分布，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}=$ $\_\_\_\_$ ． □
💡 答案解析
**答案**：$\max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ **解析**： 步骤1：总体$X$服从$[0,\theta]$上的均匀分布，其概率密度函数为$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\theta},0\leq x\leq\theta$。 步骤2：似然函数为$\displaystyle L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}f(x_i)=\frac{1}{\theta^n},0\leq x_i\leq\theta$。 步骤3：要使$L(\theta)$最大，$\theta$应尽可能小，但必须满足$\theta\geq\max\{x_1,\cdots,x_n\}$，故$\hat{\theta}=\max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出总体分布的概率密度函数
随机变量X在区间[0,θ]上服从均匀分布，其概率密度函数为f(x)=1/θ，0≤x≤θ。
公式：f(x)=1/θ, 0≤x≤θ
提示：注意定义域，x必须在[0,θ]内。
步骤 2/4
目标：构造似然函数
基于样本观测值x1,x2,...,xn，似然函数为L(θ)=∏_{i=1}^n f(x_i)=1/θ^n，其中0≤x_i≤θ对所有i成立。
公式：L(θ)=1/θ^n
提示：似然函数是样本联合密度函数，视为θ的函数。
步骤 3/4
目标：确定θ的取值范围
由于每个x_i都在[0,θ]内，因此θ必须大于等于所有x_i的最大值，即θ≥max{x1,...,xn}。
公式：θ ≥ max{x1,...,xn}
提示：这是约束条件，不能忽略。
步骤 4/4
目标：最大化似然函数
L(θ)=1/θ^n是θ的减函数，因此要使L(θ)最大，θ应尽可能小，但必须满足θ≥max{x1,...,xn}，所以θ的最大似然估计值为max{x1,...,xn}。
公式：θ̂ = max{X1,...,Xn}
提示：最大似然估计量是样本最大值。
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