kaoyan3basic 概率论与数理统计 第524题
📝 题目
### 第524题 524 设相互独立的两随机变量 $X$ 和 $Y$ 均服从分布 $\displaystyle B\left(1, \frac{1}{3}\right)$ ，则 $P\{X \leqslant 2 Y\}=$ （A）$\displaystyle \frac{1}{9}$ ． （B）$\displaystyle \frac{4}{9}$ ． （C）$\displaystyle \frac{5}{9}$ ． （D）$\displaystyle \frac{7}{9}$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：$\displaystyle X\sim B(1,\frac{1}{2})$，$Y$在$[0,1]$上均匀分布，且独立。$\displaystyle P\{X+Y\leq\frac{1}{3}\}=P\{X=0,Y\leq\frac{1}{3}\}+P\{X=1,Y\leq-\frac{2}{3}\}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}+0=\frac{1}{6}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定随机变量的分布
X和Y均服从二项分布B(1,1/3)，即X和Y独立同分布，取值0或1，且P(X=1)=1/3，P(X=0)=2/3；同样P(Y=1)=1/3，P(Y=0)=2/3。
公式：P(X=k)=C(1,k)*(1/3)^k*(2/3)^{1-k}, k=0,1
提示：二项分布B(1,p)即为伯努利分布。
步骤 2/4
目标：分析事件X≤2Y的可能取值
由于X和Y只能取0或1，2Y的可能取值为0或2。因此事件X≤2Y等价于：当Y=0时，X≤0，即X=0；当Y=1时，X≤2，即X=0或1。
公式：X≤2Y ⇔ (Y=0且X=0)或(Y=1且X=0或1)
提示：注意2Y的值域为{0,2}。
步骤 3/4
目标：计算概率
由于X和Y独立，P(X≤2Y)=P(Y=0,X=0)+P(Y=1,X=0)+P(Y=1,X=1)=P(Y=0)P(X=0)+P(Y=1)P(X=0)+P(Y=1)P(X=1)=(2/3)*(2/3)+(1/3)*(2/3)+(1/3)*(1/3)=4/9+2/9+1/9=7/9。
公式：P(X≤2Y)=P(Y=0)P(X=0)+P(Y=1)[P(X=0)+P(X=1)]
提示：注意独立事件概率相乘。
步骤 4/4
目标：得出最终答案
计算得7/9，对应选项D。
提示：检查计算无误。
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