kaoyan3basic 概率论与数理统计 第525题
📝 题目
### 第525题 525 设随机变量 $X, Y$ 独立同分布，且 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，则 $Z=\min (X, Y)$ 的分布函数为 （A）$F^{2}(x)$ ． （B）$F(x) F(y)$ ． （C） $1-[1-F(x)]^{2}$ ． （D）$[1-F(x)][1-F(y)]$ ． 设二维随机变量
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：$X,Y$独立同分布，$P\{X\leq 2Y\}=1-P\{X>2Y\}$。$X,Y$取值均为0或1，$X>2Y$仅当$X=1,Y=0$，概率为$\displaystyle \frac{2}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$？$\displaystyle P\{X=1\}=\frac{1}{3}$，$\displaystyle P\{Y=0\}=\frac{2}{3}$，故$\displaystyle P\{X=1,Y=0\}=\frac{2}{9}$。则$\displaystyle P\{X\leq 2Y\}=1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意，明确Z = min(X, Y)的分布函数定义
分布函数定义为F_Z(z) = P(Z ≤ z) = P(min(X, Y) ≤ z)。由于X和Y独立同分布，且分布函数为F(x)。
公式：F_Z(z) = P(min(X,Y) ≤ z)
提示：注意min(X,Y) ≤ z等价于至少有一个变量小于等于z。
步骤 2/5
目标：将事件转化为对立事件
P(min(X,Y) ≤ z) = 1 - P(min(X,Y) > z) = 1 - P(X > z, Y > z)。由于独立，P(X > z, Y > z) = P(X > z)P(Y > z)。
公式：F_Z(z) = 1 - P(X > z)P(Y > z)
提示：利用独立性和对立事件简化。
步骤 3/5
目标：用分布函数表示P(X > z)
P(X > z) = 1 - F(z)。因为X和Y同分布，所以P(Y > z) = 1 - F(z)。
公式：P(X > z) = 1 - F(z)
提示：分布函数F(z) = P(X ≤ z)。
步骤 4/5
目标：代入得到F_Z(z)的表达式
F_Z(z) = 1 - (1 - F(z))^2。
公式：F_Z(z) = 1 - [1 - F(z)]^2
提示：注意选项C为1-[1-F(x)]^2，与结果一致。
步骤 5/5
目标：对比选项，得出答案
选项C为1-[1-F(x)]^2，与推导结果一致。注意选项A是F^2(x)，为max(X,Y)的分布函数；B和D涉及两个变量，不正确。
提示：区分min和max的分布函数。
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