kaoyan3basic 概率论与数理统计 第527题
📝 题目
### 第527题 527 设相互独立的两随机变量 $X, Y$ 均服从 $[0,3]$ 上的均匀分布，则 $P\{1<\max (X, Y) \leqslant 2\}$ 的值为 （A）$\displaystyle \frac{1}{6}$ ． （B）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：$Z=\min(X,Y)$的分布函数$F_Z(z)=P\{\min(X,Y)\leq z\}=1-P\{X>z,Y>z\}=1-[1-F(z)]^2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定X和Y的分布
X和Y独立且均服从[0,3]上的均匀分布，概率密度函数f(x)=1/3，0≤x≤3，分布函数F(x)=x/3，0≤x≤3。
公式：F(x)=x/3, 0≤x≤3
提示：均匀分布的分布函数是线性函数。
步骤 2/5
目标：将事件转化为关于min或max的概率
事件{1
公式：P{a
提示：利用分布函数的差求区间概率。
步骤 3/5
目标：计算P{max(X,Y)≤2}
由于X,Y独立，P{max(X,Y)≤2}=P{X≤2,Y≤2}=P{X≤2}P{Y≤2}=F(2)*F(2)=(2/3)*(2/3)=4/9。
公式：P{max≤z}=[F(z)]^2
提示：最大值小于等于z等价于所有变量都小于等于z。
步骤 4/5
目标：计算P{max(X,Y)≤1}
同理，P{max(X,Y)≤1}=P{X≤1}P{Y≤1}=F(1)*F(1)=(1/3)*(1/3)=1/9。
公式：P{max≤1}=[F(1)]^2
提示：注意分布函数在z=1处的值。
步骤 5/5
目标：计算所求概率
P{1
提示：结果化简为最简分数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。