kaoyan3basic 概率论与数理统计 第528题
📝 题目
### 第528题 528 设相互独立的两随机变量 $X$ 和 $Y$ 分别服从 $E(\lambda)$ 和 $E(\lambda+2)$ 分布 $(\lambda>0)$ ，则 $P\{\min (X, Y)>1\}$ 的值为 （A） $\mathrm{e}^{-(\lambda+1)}$ （B） $1-\mathrm{e}^{-(\lambda+1)}$ ． （C） $\mathrm{e}^{-2(\lambda+1)}$ （D） $1-\mathrm{e}^{-2(\lambda+1)}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：变换$Y_1=2X_1$，$\displaystyle Y_2=\frac{1}{3}X_2$，则$\displaystyle x_1=\frac{y_1}{2}$，$x_2=3y_2$，雅可比行列式$\displaystyle |J|=\begin{vmatrix}\frac{1}{2}&0\\0&3\end{vmatrix}=\frac{3}{2}$，故$\displaystyle f_2(y_1,y_2)=f_1(\frac{y_1}{2},3y_2)\cdot\frac{3}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定X和Y的分布及独立性
X服从参数为λ的指数分布E(λ)，Y服从参数为λ+2的指数分布E(λ+2)，且X与Y相互独立。
公式：X ~ E(λ), Y ~ E(λ+2), X与Y独立
提示：指数分布的概率密度函数为f(x)=λe^{-λx}, x≥0。
步骤 2/4
目标：将P{min(X,Y)>1}转化为联合概率
由于min(X,Y)>1等价于X>1且Y>1，且X与Y独立，所以P{min(X,Y)>1}=P(X>1, Y>1)=P(X>1)P(Y>1)。
公式：P{min(X,Y)>1}=P(X>1)P(Y>1)
提示：独立事件的交的概率等于概率的积。
步骤 3/4
目标：计算P(X>1)和P(Y>1)
对于指数分布，P(X>1)=e^{-λ·1}=e^{-λ}，P(Y>1)=e^{-(λ+2)·1}=e^{-(λ+2)}。
公式：P(X>1)=e^{-λ}, P(Y>1)=e^{-(λ+2)}
提示：指数分布的生存函数为P(X>x)=e^{-λx}。
步骤 4/4
目标：计算乘积并化简
P{min(X,Y)>1}=e^{-λ}·e^{-(λ+2)}=e^{-2λ-2}=e^{-2(λ+1)}。
公式：e^{-λ}·e^{-(λ+2)}=e^{-2λ-2}=e^{-2(λ+1)}
提示：注意指数相加。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。