kaoyan3basic 概率论与数理统计 第529题
📝 题目
### 第529题 529 设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，则 $\displaystyle E(X) E\left(\frac{1}{1+X}\right)=$ （A） 1 ． （B） $\mathrm{e}^{-\lambda}$ ． （C） $1-\mathrm{e}^{-\lambda}$ ． （D） $1+\mathrm{e}^{-\lambda}$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：$X,Y\sim U[0,3]$独立，$\displaystyle P\{1<\max(X,Y)\leq2\}=P\{\max(X,Y)\leq2\}-P\{\max(X,Y)\leq1\}=(\frac{2}{3})^2-(\frac{1}{3})^2=\frac{4}{9}-\frac{1}{9}=\frac{1}{3}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算E(X)
由于X服从参数为λ的泊松分布，其期望E(X)=λ。
公式：E(X)=λ
提示：泊松分布的期望等于参数λ。
步骤 2/3
目标：计算E(1/(1+X))
根据期望定义，E(1/(1+X)) = Σ_{k=0}^∞ (1/(1+k)) * (λ^k e^{-λ}/k!) = e^{-λ} Σ_{k=0}^∞ λ^k/((k+1)!) = e^{-λ} * (1/λ) Σ_{k=0}^∞ λ^{k+1}/((k+1)!) = (e^{-λ}/λ) (e^λ - 1) = (1 - e^{-λ})/λ。
公式：E(1/(1+X)) = (1 - e^{-λ})/λ
提示：利用泊松分布的概率质量函数和指数级数求和。
步骤 3/3
目标：计算乘积E(X)E(1/(1+X))
E(X) * E(1/(1+X)) = λ * (1 - e^{-λ})/λ = 1 - e^{-λ}。
公式：E(X)E(1/(1+X)) = 1 - e^{-λ}
提示：注意λ≠0，但λ=0时泊松分布退化为退化分布，此时E(X)=0，E(1/(1+X))=1，乘积为0，而1-e^{-0}=0，也成立。
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