kaoyan3basic 概率论与数理统计 第530题
📝 题目
### 第530题 530 设随机变量 $X, Y$ 不相关，且 $E X=2, E Y=1, D X=3$ ，则 $E[X(X+Y-2)]=$ （A）-3 ． （B） 3 ． （C）-5 ． （D） 5 ． 纠䦃笔记
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：$X\sim E(\lambda)$，$Y\sim E(\lambda+2)$独立，$\min(X,Y)\sim E(\lambda+\lambda+2)=E(2\lambda+2)$，故$P\{\min(X,Y)>1\}=e^{-(2\lambda+2)}=e^{-2(\lambda+1)}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：展开期望表达式
计算 E[X(X+Y-2)] = E[X^2 + XY - 2X] = E[X^2] + E[XY] - 2E[X]
公式：E[X(X+Y-2)] = E[X^2] + E[XY] - 2E[X]
提示：利用期望的线性性质
步骤 2/4
目标：计算 E[X^2]
已知 DX = 3，EX = 2，由方差公式 DX = E[X^2] - (EX)^2，得 E[X^2] = DX + (EX)^2 = 3 + 4 = 7
公式：E[X^2] = DX + (EX)^2
提示：方差公式的变形
步骤 3/4
目标：计算 E[XY]
由于 X 与 Y 不相关，故 Cov(X,Y)=0，即 E[XY] - EX·EY = 0，所以 E[XY] = EX·EY = 2×1 = 2
公式：E[XY] = EX·EY（不相关时）
提示：不相关意味着协方差为0
步骤 4/4
目标：代入计算
E[X(X+Y-2)] = 7 + 2 - 2×2 = 7 + 2 - 4 = 5
提示：注意计算顺序
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