kaoyan3basic 概率论与数理统计 第531题
📝 题目
### 第531题 531 设随机变量 $X$ 的二阶矩存在，则 （A）$E X^{2}
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：$X\sim P(\lambda)$，则$E(X)=\lambda$，$\displaystyle E(\frac{1}{1+X})=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{1+k}\cdot\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}=\frac{e^{-\lambda}}{\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!}=\frac{e^{-\lambda}}{\lambda}(e^{\lambda}-1)=\frac{1-e^{-\lambda}}{\lambda}$，故$\displaystyle E(X)E(\frac{1}{1+X})=\lambda\cdot\frac{1-e^{-\lambda}}{\lambda}=1-e^{-\lambda}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：分析选项，确定需要比较的量
题目要求比较 EX^2 与 (EX)^2 的大小。根据方差公式 Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2 ≥ 0，可得 E(X^2) ≥ (E(X))^2，因此选项D正确。注意选项C是小于号，错误。选项A和B涉及EX^2与EX的比较，没有必然大小关系。
公式：Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 ≥ 0
提示：方差非负是常用性质。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。