kaoyan3basic 概率论与数理统计 第532题
📝 题目
### 第532题 532 设随机变量 $X$ 的期望、方差都存在，则对任意常数 $c$ ，有 （A）$E(X-c)^{2}
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：$E[X(X+Y-2)]=E(X^2+XY-2X)=E(X^2)+E(XY)-2E(X)$。由$X,Y$不相关得$E(XY)=E(X)E(Y)=2\times1=2$，又$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=3$，故$E(X^2)=3+4=7$，代入得$7+2-4=5$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：展开期望表达式
将 $E(X-c)^2$ 展开为 $E(X^2 - 2cX + c^2) = E(X^2) - 2cE(X) + c^2$。
公式：$E(X-c)^2 = E(X^2) - 2cE(X) + c^2$
提示：利用期望的线性性质展开平方项。
步骤 2/4
目标：用方差和期望表示 $E(X^2)$
由方差定义 $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$，得 $E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2$。
公式：$E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2$
提示：方差公式是基础，注意期望的平方与平方期望的区别。
步骤 3/4
目标：代入并化简
将 $E(X^2)$ 代入展开式：$E(X-c)^2 = D(X) + [E(X)]^2 - 2cE(X) + c^2 = D(X) + [E(X) - c]^2$。
公式：$E(X-c)^2 = D(X) + [E(X)-c]^2$
提示：注意 $[E(X)]^2 - 2cE(X) + c^2 = [E(X)-c]^2$。
步骤 4/4
目标：比较选项
由 $E(X-c)^2 = D(X) + [E(X)-c]^2$，且 $[E(X)-c]^2 = [E(X-c)]^2$，因此 $E(X-c)^2 = D(X) + [E(X-c)]^2$。选项D正确。
公式：$E(X-c)^2 = D(X) + [E(X-c)]^2$
提示：注意 $E(X-c) = E(X) - c$。
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