kaoyan3basic 概率论与数理统计 第533题
📝 题目
### 第533题 533 设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)$ ，则其数学期望 $E(X)=a$ ，如果成立 （A） $\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x-a) \mathrm{d} x=0$ ． （B） $\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x+a) \mathrm{d} x=0$ ． （C） $\displaystyle \int_{-\infty}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}$ ． （D） $\displaystyle \int_{-\infty}^{a} x f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：由方差公式$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\geq0$，得$E(X^2)\geq[E(X)]^2$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解题意，明确数学期望的定义
已知随机变量X的概率密度函数为f(x)，数学期望E(X)=a。需要判断哪个选项成立。
公式：E(X) = ∫_{-∞}^{+∞} x f(x) dx = a
提示：注意期望的定义是积分x乘以密度函数。
步骤 2/4
目标：分析选项A和B，利用变量替换
对于选项A：∫ x f(x-a) dx，令t=x-a，则x=t+a，dx=dt，积分变为∫ (t+a) f(t) dt = ∫ t f(t) dt + a ∫ f(t) dt = E(X) + a = a + a = 2a，不一定为0。选项B类似，令t=x+a，得∫ (t-a) f(t) dt = E(X) - a = 0，所以B成立。但需检查其他选项。
公式：∫ x f(x-a) dx = ∫ (t+a) f(t) dt = E(X) + a
提示：变量替换时注意积分限不变。
步骤 3/4
目标：分析选项C和D，利用期望定义
选项C：∫_{-∞}^a f(x) dx = 1/2，这表示中位数是a，但期望不一定等于中位数，所以不一定成立。选项D：∫_{-∞}^a x f(x) dx = 1/2，由期望定义，∫_{-∞}^a x f(x) dx + ∫_a^{+∞} x f(x) dx = a，若D成立，则∫_a^{+∞} x f(x) dx = a - 1/2，但无法推出a=1/2，所以D不一定成立。实际上，只有B恒成立。
公式：E(X) = ∫_{-∞}^a x f(x) dx + ∫_a^{+∞} x f(x) dx = a
提示：注意期望与中位数的区别。
步骤 4/4
目标：确认正确答案
通过计算，选项B的积分结果为0，与期望a无关，恒成立。因此正确答案是B。
提示：检查每个选项是否恒成立。
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