kaoyan3basic 概率论与数理统计 第534题
📝 题目
### 第534题 534 设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)$ ，数学期望 $E(X)=2$ ，则 （A） $\displaystyle \int_{-\infty}^{2} x f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}$ ． （B） $\int_{-\infty}^{2} x f(x) \mathrm{d} x=\int_{2}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ ． （C） $\displaystyle \int_{-\infty}^{2} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}$ ． （D） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x f(2 x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：对于选项D，令$t=2x$，则$\displaystyle x=\frac{t}{2}$，$\displaystyle \mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{d}t$，积分变为$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t}{2} f(t) \cdot \frac{1}{2} \mathrm{d}t = \frac{1}{4} \int_{-\infty}^{+\infty} t f(t) \mathrm{d}t = \frac{1}{4} E(X) = \frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{2}$，故D正确。 步骤2：选项A、B、C无法由已知条件确定，故排除。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：验证选项D的正确性
令 t=2x，则 x=t/2，dx=dt/2。代入积分得 ∫_{-∞}^{+∞} (t/2) f(t) * (1/2) dt = (1/4) ∫_{-∞}^{+∞} t f(t) dt = (1/4) E(X) = (1/4)*2 = 1/2。
公式：∫_{-∞}^{+∞} x f(2x) dx = (1/4) E(X)
提示：注意变量替换时积分限不变，因为当x从-∞到+∞时，t=2x也从-∞到+∞。
步骤 2/2
目标：排除其他选项
选项A、B、C均无法由已知条件E(X)=2唯一确定，例如概率密度函数未知，故排除。
提示：对于一般概率密度函数，仅知期望不足以确定部分积分值。
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