kaoyan3basic 概率论与数理统计 第535题
📝 题目
### 第535题 535 设随机变量 $X$ 的分布函数为 $\displaystyle F(x)=0.4 \Phi\left(\frac{x-5}{2}\right)+0.6 \Phi\left(\frac{x+1}{3}\right)$ ，其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布的分布函数，则 $E(X)=$ （A） 3 ． （B） 2.6 ． （C）1．4． （D） 1 ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：$F(x)$是混合正态分布的分布函数，$E(X)=0.4 \times 5 + 0.6 \times (-1) = 2 - 0.6 = 1.4$。 步骤2：计算得$E(X)=1.4$，对应选项C。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：识别分布函数为混合正态分布
分布函数 F(x) = 0.4 Φ((x-5)/2) + 0.6 Φ((x+1)/3) 是混合正态分布的分布函数，其中两个正态分量分别为 N(5, 4) 和 N(-1, 9)，权重分别为 0.4 和 0.6。
公式：F(x) = p Φ((x-μ1)/σ1) + (1-p) Φ((x-μ2)/σ2)
提示：注意混合分布的分布函数形式，权重对应均值线性组合的系数。
步骤 2/3
目标：计算期望 E(X)
混合正态分布的期望等于各分量期望的加权平均：E(X) = 0.4 * 5 + 0.6 * (-1) = 2 - 0.6 = 1.4。
公式：E(X) = p μ1 + (1-p) μ2
提示：直接使用权重乘以均值再相加，无需考虑方差。
步骤 3/3
目标：选择对应选项
计算得 E(X)=1.4，对应选项 C。
提示：检查选项，C 为 1.4。
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