kaoyan3basic 概率论与数理统计 第536题
📝 题目
### 第536题 536 已知随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-|x|},-\infty
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：$X$服从拉普拉斯分布，$E(X)=0$，$E(X^2)=D(X)=2$，$E(X^4)=24$。 步骤2：$D(X^2)=E(X^4)-[E(X^2)]^2=24-4=20$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定随机变量X的分布类型及数字特征
概率密度函数f(x)=1/2 e^{-|x|}是拉普拉斯分布（双指数分布），其均值为0，方差为2。因此E(X)=0，E(X^2)=D(X)=2。
公式：拉普拉斯分布：E(X)=0，D(X)=2
提示：拉普拉斯分布的数字特征可直接记忆，也可通过积分计算验证。
步骤 2/3
目标：计算E(X^4)
利用拉普拉斯分布的矩性质，E(X^4)=24。可通过积分或查表得到。
公式：E(X^4)=∫_{-∞}^{∞} x^4 * 1/2 e^{-|x|} dx = 24
提示：注意被积函数为偶函数，可转化为2倍0到∞的积分，利用伽马函数计算。
步骤 3/3
目标：计算D(X^2)
根据方差公式D(X^2)=E(X^4)-[E(X^2)]^2，代入E(X^4)=24，E(X^2)=2，得D(X^2)=24-4=20。
公式：D(X^2)=E(X^4)-[E(X^2)]^2
提示：注意E(X^2)是二阶矩，不是方差。
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