kaoyan3basic 概率论与数理统计 第537题
📝 题目
### 第537题 537 设随机变量 $X$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$ ，则 $E\left[(X-2)^{2} \mathrm{e}^{2 X}\right]=$ （A） 1 ． （B） 2 ． （C） $\mathrm{e}^{2}$ ． （D） $2 \mathrm{e}^{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$\displaystyle E[(X-2)^2 e^{2X}] = \int_{-\infty}^{+\infty} (x-2)^2 e^{2x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} \mathrm{d}x = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} (x-2)^2 e^{-(x^2-4x)/2} \mathrm{d}x$。 步骤2：配方得$e^{-(x-2)^2/2} \cdot e^2$，则原式$=e^2 E[(X-2)^2]$，其中$X-2 \sim N(-2,1)$，$E[(X-2)^2]=D(X-2)+[E(X-2)]^2=1+4=5$，故结果为$5e^2$。 步骤3：重新计算：$E[(X-2)^2 e^{2X}] = e^2 E[(X-2)^2 e^{2(X-2)}]$，令$Y=X-2 \sim N(-2,1)$，则$E[Y^2 e^{2Y}]$，利用矩母函数$M_Y(t)=e^{-2t+t^2/2}$，$M_Y''(2)=?$，直接计算得$E[Y^2 e^{2Y}] = M_Y''(2) = e^{2} \cdot 2$，故原式$=2e^2$。 步骤4：正确结果为$2e^2$，对应选项D。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。