kaoyan3basic 概率论与数理统计 第538题
📝 题目
### 第538题 538 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，均服从正态 $N(1,2)$ ，则 $D(X Y)=$ （A） 4 ． （B） 6 ． （C） 8 ． （D） 10 ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$X$与$Y$独立，$D(XY)=E(X^2)E(Y^2)-[E(X)E(Y)]^2$。 步骤2：$E(X)=1$，$D(X)=2$，则$E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=2+1=3$，同理$E(Y^2)=3$。 步骤3：$D(XY)=3 \times 3 - (1 \times 1)^2 = 9-1=8$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出独立随机变量乘积的方差公式
由于X与Y相互独立，有公式 D(XY) = E(X^2)E(Y^2) - [E(X)E(Y)]^2。
公式：D(XY) = E(X^2)E(Y^2) - [E(X)E(Y)]^2
提示：独立时，E(XY)=E(X)E(Y)，但D(XY)不能直接展开为D(X)D(Y)。
步骤 2/3
目标：计算E(X^2)和E(Y^2)
已知X~N(1,2)，所以E(X)=1，D(X)=2。由E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2得E(X^2)=2+1=3。同理，Y~N(1,2)，E(Y^2)=3。
公式：E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2
提示：注意方差与期望的关系，不要混淆。
步骤 3/3
目标：代入公式计算D(XY)
将E(X^2)=3，E(Y^2)=3，E(X)=1，E(Y)=1代入公式：D(XY)=3×3 - (1×1)^2 = 9 - 1 = 8。
公式：D(XY) = 3×3 - 1^2 = 8
提示：计算时注意平方的顺序。
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