kaoyan3basic 概率论与数理统计 第539题
📝 题目
### 第539题 539 已知随机变量 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为 $\rho_{X Y}$ 且 $\rho_{X Y} \neq 0$ ，设 $Z=a X+b$ ，其中 $a, b$ 为常数，则 $Y$ 与 $Z$ 的相关系数 $\rho_{Y Z}=\rho_{X Y}$ 的充要条件是 （A）$a=1$ ． （B）$a>0$ ． （C）$a<0$ ． （D）$a \neq 0$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：$\displaystyle \rho_{YZ} = \frac{\operatorname{Cov}(Y, aX+b)}{\sqrt{DY} \sqrt{a^2 DX}} = \frac{a \operatorname{Cov}(X,Y)}{|a| \sqrt{DX} \sqrt{DY}} = \frac{a}{|a|} \rho_{XY}$。 步骤2：要使$\rho_{YZ} = \rho_{XY}$，需$\displaystyle \frac{a}{|a|}=1$，即$a>0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算相关系数 ρ_{YZ} 的表达式
由相关系数定义，ρ_{YZ} = Cov(Y, Z) / (√D(Y) √D(Z))。代入 Z = aX + b，得 Cov(Y, Z) = Cov(Y, aX + b) = a Cov(Y, X)，D(Z) = a² D(X)。因此 ρ_{YZ} = a Cov(Y, X) / (√D(Y) √(a² D(X))) = a Cov(Y, X) / (|a| √D(Y) √D(X)) = (a/|a|) ρ_{XY}。
公式：ρ_{YZ} = (a/|a|) ρ_{XY}
提示：注意 Cov(Y, aX+b) = a Cov(Y,X)，D(aX+b) = a² D(X)，且相关系数中分母需取绝对值。
步骤 2/2
目标：推导充要条件
要使 ρ_{YZ} = ρ_{XY}，由上式得 (a/|a|) ρ_{XY} = ρ_{XY}。由于 ρ_{XY} ≠ 0，两边除以 ρ_{XY} 得 a/|a| = 1，即 a > 0。
公式：a/|a| = 1 ⇒ a > 0
提示：注意 ρ_{XY} ≠ 0 是条件，否则无法约去。
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