kaoyan3basic 概率论与数理统计 第540题
📝 题目
### 第540题 540 设二维随机变量 $\left(X_{1}, X_{2}\right)$ 中 $X_{1}$ 与 $X_{2}$ 的相关系数为 $\rho$ ，记 $\sigma_{i j}=\operatorname{Cov}\left(X_{i}, X_{j}\right)(i, j= 1,2)$ ，则行列式 $$ $\left|\begin{array}{ll}$ \sigma_{11} & \sigma_{12} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} $\end{array}\right|=0$ $$ 的充分必要条件是 （A）$\rho=0$. （B）$\displaystyle |\rho|=\frac{1}{3}$ ． （C）$\displaystyle |\rho|=\frac{1}{2}$ ． （D）$|\rho|=1$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：行列式$\sigma_{11}\sigma_{22} - \sigma_{12}^2 = DX_1 \cdot DX_2 - [\operatorname{Cov}(X_1,X_2)]^2 = DX_1 DX_2 (1-\rho^2)$。 步骤2：行列式为0当且仅当$1-\rho^2=0$，即$|\rho|=1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算行列式的值
行列式等于 σ11σ22 - σ12^2。由于 σ11 = D(X1), σ22 = D(X2), σ12 = Cov(X1,X2)，所以行列式 = D(X1)D(X2) - [Cov(X1,X2)]^2。
公式：|σ11 σ12; σ21 σ22| = σ11σ22 - σ12^2
提示：注意协方差矩阵的行列式公式。
步骤 2/3
目标：用相关系数表示行列式
因为 Cov(X1,X2) = ρ√(D(X1)D(X2))，所以 [Cov(X1,X2)]^2 = ρ^2 D(X1)D(X2)。代入得行列式 = D(X1)D(X2)(1 - ρ^2)。
公式：Cov(X1,X2) = ρ√(D(X1)D(X2))
提示：相关系数的定义。
步骤 3/3
目标：行列式为0的条件
由于方差非负，D(X1)D(X2) ≥ 0，且通常大于0（若为0则退化，但一般考虑非退化情形），所以行列式为0当且仅当 1 - ρ^2 = 0，即 |ρ| = 1。
公式：1 - ρ^2 = 0 ⇒ |ρ| = 1
提示：注意方差不为零的假设。
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