kaoyan3basic 概率论与数理统计 第541题
📝 题目
### 第541题 541 已知随机变量 $X$ 与 $Y$ 有相同的不为零的方差，则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数等于 1 的充分必要条件是 （A） $\operatorname{Cov}(X+Y, X)=0$ ． （B） $\operatorname{Cov}(X+Y, Y)=0$ ． （C） $\operatorname{Cov}(X+Y, X-Y)=0$ ． （D） $\operatorname{Cov}(X-Y, X)=0$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：设$DX=DY=\sigma^2>0$，则$\rho_{XY}=1$等价于$\operatorname{Cov}(X,Y)=\sigma^2$。 步骤2：选项D：$\operatorname{Cov}(X-Y, X)=\operatorname{Cov}(X,X)-\operatorname{Cov}(Y,X)=\sigma^2 - \sigma^2=0$，反之，若$\operatorname{Cov}(X-Y,X)=0$，则$\sigma^2 - \operatorname{Cov}(X,Y)=0$，得$\operatorname{Cov}(X,Y)=\sigma^2$，故$\rho=1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：明确已知条件：X与Y有相同的不为零的方差，即DX=DY=σ²>0。
设DX=DY=σ²>0，则相关系数ρ_{XY}=Cov(X,Y)/(σ·σ)=Cov(X,Y)/σ²。ρ=1等价于Cov(X,Y)=σ²。
公式：ρ_{XY}=Cov(X,Y)/√(DX·DY)=Cov(X,Y)/σ²
提示：注意方差非零，相关系数定义中分母为正。
步骤 2/3
目标：分析各选项，找出与Cov(X,Y)=σ²等价的选项。
选项D：Cov(X-Y, X)=Cov(X,X)-Cov(Y,X)=σ² - Cov(X,Y)。若Cov(X-Y,X)=0，则σ² - Cov(X,Y)=0，即Cov(X,Y)=σ²，从而ρ=1。反之，若ρ=1，则Cov(X,Y)=σ²，代入得Cov(X-Y,X)=0。因此D是充分必要条件。
公式：Cov(X-Y, X)=Cov(X,X)-Cov(Y,X)=DX - Cov(X,Y)
提示：利用协方差的双线性性质展开。
步骤 3/3
目标：验证其他选项不满足充分必要性。
选项A：Cov(X+Y, X)=Cov(X,X)+Cov(Y,X)=σ²+Cov(X,Y)=0 ⇒ Cov(X,Y)=-σ² ⇒ ρ=-1，不是ρ=1。选项B：Cov(X+Y, Y)=Cov(X,Y)+σ²=0 ⇒ Cov(X,Y)=-σ² ⇒ ρ=-1。选项C：Cov(X+Y, X-Y)=Cov(X,X)-Cov(X,Y)+Cov(Y,X)-Cov(Y,Y)=σ² - Cov(X,Y)+Cov(X,Y)-σ²=0恒成立，与ρ无关。
公式：Cov(X+Y, X-Y)=DX - DY =0，恒成立
提示：注意C选项恒等于0，不能推出ρ=1。
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