kaoyan3basic 概率论与数理统计 第542题
📝 题目
### 第542题 542 已知随机变量 $X$ 与 $Y$ 的相关系数大于零，则 （A）$D(X+Y)=D X+D Y$ ． （B）$D(X+Y)
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$D(X+Y)=DX+DY+2\operatorname{Cov}(X,Y)$，$D(X-Y)=DX+DY-2\operatorname{Cov}(X,Y)$。 步骤2：相关系数大于零，则$\operatorname{Cov}(X,Y)>0$，故$D(X-Y)=DX+DY-2\operatorname{Cov}(X,Y) < DX+DY$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出方差公式
根据方差的性质，有 D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)，D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)。
公式：D(X±Y)=DX+DY±2Cov(X,Y)
提示：注意协方差符号对和与差的影响。
步骤 2/3
目标：利用相关系数条件判断协方差符号
已知相关系数大于零，则协方差 Cov(X,Y)>0。
公式：ρ>0 ⇒ Cov(X,Y)>0
提示：相关系数与协方差同号。
步骤 3/3
目标：比较方差大小
由于 Cov(X,Y)>0，代入公式得 D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y) < DX+DY。
公式：D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y) < DX+DY
提示：减正数使结果变小。
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