kaoyan3basic 概率论与数理统计 第543题
📝 题目
### 第543题 543 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且方差 $D X>0, D Y>0$ ，则 （A）$X$ 与 $X+Y$ 一定相关． （B）$X$ 与 $X+Y$ 一定不相关． （C）$X$ 与 $X Y$ 一定相关． （D）$X$ 与 $X Y$ 一定不相关．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：$\operatorname{Cov}(X, X+Y)=DX+ \operatorname{Cov}(X,Y)=DX>0$，故$X$与$X+Y$一定相关。 步骤2：$X$与$XY$不一定相关，例如$X$取非零常数时可能不相关。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：判断X与X+Y的相关性
计算协方差Cov(X, X+Y) = Cov(X, X) + Cov(X, Y) = DX + 0 = DX > 0，因此X与X+Y一定相关。
公式：Cov(X, X+Y) = DX + Cov(X, Y)
提示：利用独立时协方差为0的性质。
步骤 2/2
目标：判断X与XY的相关性
考虑反例：若X取非零常数，则XY与X完全线性相关，但若X与Y独立且X的分布使得XY与X不相关，例如X服从标准正态分布，Y服从独立同分布，则Cov(X, XY) = E(X^2Y) - E(X)E(XY) = E(X^2)E(Y) - 0 = 0，此时不相关，因此不一定相关。
公式：Cov(X, XY) = E(X^2Y) - E(X)E(XY)
提示：注意独立性和期望的性质。
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