kaoyan3basic 概率论与数理统计 第544题
📝 题目
### 第544题 544 设随机变量 $X$ 的 $E X=\mu, D X=\sigma^{2}$（ $\sigma>0$ 为常数），则对任意常数 $c$ 必有 （A）$E(X-c)^{2}=E X^{2}-c^{2}$ ． （B）$E(X-c)^{2}=E(X-\mu)^{2}$ ． （C）$E(X-c)^{2}
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$E(X-c)^2 = E[(X-\mu)+(\mu-c)]^2 = D(X) + (\mu-c)^2 \geq D(X) = E(X-\mu)^2$。 步骤2：等号成立当且仅当$c=\mu$，故$E(X-c)^2 \geq E(X-\mu)^2$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：将E(X-c)^2展开并转化为与方差和均值差相关的形式
E(X-c)^2 = E[(X-μ)+(μ-c)]^2 = E[(X-μ)^2 + 2(X-μ)(μ-c) + (μ-c)^2] = E(X-μ)^2 + 2(μ-c)E(X-μ) + (μ-c)^2。由于E(X-μ)=0，所以E(X-c)^2 = D(X) + (μ-c)^2。
公式：E(X-c)^2 = D(X) + (μ-c)^2
提示：利用期望的线性性质，注意E(X-μ)=0。
步骤 2/2
目标：比较E(X-c)^2与E(X-μ)^2的大小
E(X-μ)^2 = D(X)。由第一步得E(X-c)^2 = D(X) + (μ-c)^2 ≥ D(X) = E(X-μ)^2，等号成立当且仅当c=μ。
公式：E(X-c)^2 ≥ E(X-μ)^2
提示：平方项非负，因此不等式成立。
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