kaoyan3basic 概率论与数理统计 第546题
📝 题目
### 第546题 546 已知随机变量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 相互独立且 $E X_{i}=\mu, D X_{i}=\sigma^{2}>0$ ，记 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ ，则 $X_{1}-\bar{X}$ 与 $X_{2}-\bar{X}$ （A）不相关且相互独立． （B）不相关且相互不独立． （C）相关且相互独立． （D）相关且相互不独立．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$X_1-\bar{X}$与$X_2-\bar{X}$的协方差为$\operatorname{Cov}(X_1-\bar{X}, X_2-\bar{X}) = \operatorname{Cov}(X_1, X_2) - \operatorname{Cov}(X_1, \bar{X}) - \operatorname{Cov}(\bar{X}, X_2) + \operatorname{Cov}(\bar{X}, \bar{X})$。 步骤2：由于独立，$\operatorname{Cov}(X_1, X_2)=0$，$\displaystyle \operatorname{Cov}(X_1, \bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$，$\displaystyle \operatorname{Cov}(\bar{X}, X_2)=\frac{\sigma^2}{n}$，$\displaystyle D(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n}$，故协方差$\displaystyle =0 - \frac{\sigma^2}{n} - \frac{\sigma^2}{n} + \frac{\sigma^2}{n} = -\frac{\sigma^2}{n} \neq 0$，因此相关。 步骤3：由于它们都是线性组合，且总体正态时联合正态，但这里未假定正态，故不独立。 **难度**：★★★☆☆