kaoyan3basic 概率论与数理统计 第547题
📝 题目
### 第547题 547 假设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立具有非零的方差，$D X \neq D Y$ ，则 （A） $3 X+1$ 与 $4 Y-2$ 相关． （B）$X+Y$ 与 $X-Y$ 不相关． （C）$X+Y$ 与 $2 Y+1$ 相互独立． （D） $\mathrm{e}^{X}$ 与 $2 Y+1$ 相互独立．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$X$与$Y$独立，则$\mathrm{e}^X$与$2Y+1$是独立随机变量的函数，故相互独立。 步骤2：其他选项：A中$3X+1$与$4Y-2$独立故不相关；B中$\operatorname{Cov}(X+Y, X-Y)=DX-DY \neq 0$，故相关；C中$X+Y$与$2Y+1$不独立。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断选项D的正确性
由于X与Y相互独立，e^X是X的函数，2Y+1是Y的函数，独立随机变量的函数仍然相互独立，因此e^X与2Y+1相互独立，选项D正确。
公式：若X与Y独立，则g(X)与h(Y)独立
提示：独立随机变量的函数仍独立
步骤 2/4
目标：分析选项A
3X+1是X的函数，4Y-2是Y的函数，由于X与Y独立，故3X+1与4Y-2独立，从而不相关，选项A错误。
公式：独立⇒不相关
提示：注意独立一定不相关，但反之不成立
步骤 3/4
目标：分析选项B
计算协方差：Cov(X+Y, X-Y) = Cov(X,X) - Cov(X,Y) + Cov(Y,X) - Cov(Y,Y) = DX - DY，由于DX≠DY，故协方差不为0，因此X+Y与X-Y相关，选项B错误。
公式：Cov(X+Y, X-Y) = DX - DY
提示：利用协方差性质展开
步骤 4/4
目标：分析选项C
X+Y与2Y+1都依赖于Y，通常不独立，除非特殊情况（如X为常数），但题目未说明，故不独立，选项C错误。
提示：独立要求联合分布可分解
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