kaoyan3basic 概率论与数理统计 第548题
📝 题目
### 第548题 548 已知随机变量 $X$ 与 $Y$ 均服从 $\displaystyle B\left(1, \frac{3}{4}\right)$ 分布，$\displaystyle E X Y=\frac{5}{8}$ ，则 $P\{X+Y \leqslant 1\}$ 等于 （A）$\displaystyle \frac{1}{8}$ ． （B）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ． （C）$\displaystyle \frac{3}{8}$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． 相互独立同分布的两个随机变量 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ ，已知 | $X_{1}$ | $n$ | $n+1$ | $n+2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $P$ | 0.3 | 0.4 | 0.3 | 则 $D\left(X_{1}+X_{2}\right)=$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$X\sim B(1,3/4)$，$E(X)=3/4$，$D(X)=3/16$，同理$Y$。 步骤2：$E(XY)=5/8$，则$\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=5/8 - 9/16 = 1/16$。 步骤3：$P\{X+Y \leq 1\} = P\{X=0,Y=0\} + P\{X=0,Y=1\} + P\{X=1,Y=0\}$。由$E(XY)=P\{X=1,Y=1\}=5/8$，且$P\{X=1\}=3/4$，$P\{Y=1\}=3/4$，得$P\{X=0,Y=0\}=1 - P\{X=1\} - P\{Y=1\} + P\{X=1,Y=1\} = 1 - 3/4 - 3/4 + 5/8 = 1/8$。 步骤4：$P\{X=0,Y=1\}=P\{Y=1\}-P\{X=1,Y=1\}=3/4 - 5/8 = 1/8$，同理$P\{X=1,Y=0\}=1/8$，故$P\{X+Y \leq 1\}=1/8+1/8+1/8=3/8$。 **难度**：★★★☆☆