kaoyan3basic 概率论与数理统计 第551题
📝 题目
### 第551题 551 设随机变量 $X$ 服从指数分布 $E(1)$ ，用切比雪夫不等式得到估计 $P\{X \geqslant 3\} \leqslant a$ ，则 $a=$ （A）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{8}$ ． （D） $\mathrm{e}^{-3}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：$X\sim E(1)$，则$E(X)=1$，$D(X)=1$。 步骤2：切比雪夫不等式：$\displaystyle P\{|X-1| \geq 2\} \leq \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$，而$\displaystyle P\{X \geq 3\} = P\{X-1 \geq 2\} \leq P\{|X-1| \geq 2\} \leq \frac{1}{4}$，故$\displaystyle a=\frac{1}{4}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定指数分布的期望和方差
由于X服从参数为1的指数分布，即X~E(1)，其概率密度函数为f(x)=e^{-x}（x≥0）。指数分布的期望E(X)=1/λ=1，方差D(X)=1/λ^2=1。
公式：E(X)=1/λ, D(X)=1/λ^2
提示：指数分布的参数λ=1，因此期望和方差均为1。
步骤 2/3
目标：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式：对于任意ε>0，有P{|X-E(X)|≥ε}≤D(X)/ε^2。这里E(X)=1，D(X)=1，取ε=2，则P{|X-1|≥2}≤1/4。
公式：P{|X-μ|≥ε}≤σ^2/ε^2
提示：注意ε的选择：因为要估计P{X≥3}，即X-1≥2，所以取ε=2。
步骤 3/3
目标：将目标概率与切比雪夫不等式联系
由于{X≥3}等价于{X-1≥2}，而{X-1≥2}是{|X-1|≥2}的子事件，因此P{X≥3}≤P{|X-1|≥2}≤1/4。所以a=1/4。
公式：P{X≥3}=P{X-1≥2}≤P{|X-1|≥2}≤1/4
提示：切比雪夫不等式给出的是上界，且事件包含关系用于放缩。
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