kaoyan3basic 概率论与数理统计 第552题
📝 题目
### 第552题 552 设随机变量序列 $X_{1}, \cdots, X_{n}, \cdots$ 相互独立，则根据辛钦大数定律，当 $n \rightarrow \infty$ 时， $\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ 依概率收敛其数学期望，只要随机变量序列 $X_{1} \cdots, X_{n}, \cdots$ （A）有相同的数学期望． （B）服从同一离散型分布． （C）服从同一泊松分布． （D）服从同一连续型分布．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：辛钦大数定律要求随机变量序列独立同分布且数学期望存在。 步骤2：选项（A）缺少同分布条件；选项（B）和（D）只说明同分布，但未保证数学期望存在；选项（C）服从同一泊松分布，满足独立同分布且期望存在。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：理解辛钦大数定律的条件
辛钦大数定律要求随机变量序列独立同分布且数学期望存在。
提示：注意：辛钦大数定律不要求方差存在，但期望必须存在。
步骤 2/3
目标：分析各选项是否满足条件
选项A：只有相同的数学期望，缺少同分布条件，不满足。选项B：服从同一离散型分布，但未保证数学期望存在（如柯西分布离散型也可能期望不存在）。选项C：服从同一泊松分布，泊松分布期望存在且有限，同时满足独立同分布，因此正确。选项D：服从同一连续型分布，但未保证数学期望存在（如柯西分布）。
提示：泊松分布的参数λ即为期望，因此期望存在。
步骤 3/3
目标：得出结论
只有选项C同时满足独立同分布和数学期望存在，因此选C。
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