kaoyan3basic 概率论与数理统计 第3题
📝 题目
### 第3题 3．已知 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 是相互独立的随机变量，分布函数分别为 $F_{1}(x)$ 和 $F_{2}(x)$ ，则下列选项一定是某一随机变量分布函数的为 （A）$F_{1}(x)+F_{2}(x)$ ． （B）$F_{1}(x)-F_{2}(x)$ ． （C）$F_{1}(x) \cdot F_{2}(x)$ ． （D）$\displaystyle \frac{F_{1}(x)}{F_{2}(x) .}$ 随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ ，则概率 $P\{|X-\mu| \leqslant \sigma\}$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：分布函数需满足单调不减、右连续、$F(-\infty)=0,F(+\infty)=1$。 步骤2：$F_1(x)\cdot F_2(x)$满足所有性质，其余选项不满足$F(+\infty)=1$或单调性。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：理解分布函数的性质
分布函数F(x)必须满足：单调不减、右连续、F(-∞)=0、F(+∞)=1。
提示：牢记分布函数的四个基本性质。
步骤 2/3
目标：检验每个选项是否满足F(+∞)=1
对于选项A：F1(+∞)+F2(+∞)=1+1=2≠1，排除。选项B：F1(+∞)-F2(+∞)=1-1=0≠1，排除。选项D：F1(+∞)/F2(+∞)=1/1=1，但需考虑分母为0的情况，且不满足单调性，排除。选项C：F1(+∞)·F2(+∞)=1·1=1，满足。
提示：先检查无穷远处的值是否等于1，快速排除明显错误选项。
步骤 3/3
目标：验证选项C的单调性和右连续性
由于F1和F2都是单调不减且右连续，它们的乘积也单调不减且右连续。因此F1(x)·F2(x)是分布函数。
提示：乘积保持单调性和右连续性。
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