kaoyan3basic 概率论与数理统计 第5题
📝 题目
### 第5题 5．设随机变量 $X \sim N(1,4), Y \sim N(0,4)$ ，且 $X, Y$ 相互独立，则 $D(2 X-3 Y)=$ （A） 8 ． （B） 18 ． （C） 24 ． （D） 52 ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$D(2X-3Y)=4D(X)+9D(Y)=4\times4+9\times4=16+36=52$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算方差 D(2X-3Y)
由于 X 和 Y 相互独立，方差具有线性性质：D(aX+bY)=a^2 D(X)+b^2 D(Y)。这里 a=2, b=-3，所以 D(2X-3Y)=4D(X)+9D(Y)。
公式：D(aX+bY)=a^2 D(X)+b^2 D(Y)（X,Y独立）
提示：注意系数平方，且独立时协方差为0。
步骤 2/2
目标：代入已知方差
已知 X~N(1,4)，所以 D(X)=4；Y~N(0,4)，所以 D(Y)=4。代入得：4×4+9×4=16+36=52。
公式：D(X)=σ^2
提示：正态分布的方差直接给出。
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