kaoyan3basic 概率论与数理统计 第6题
📝 题目
### 第6题 6．设 $X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}$ 为来自总体 $N\left(0, \sigma^{2}\right),(\sigma>0)$ 的简单随机样本，则统计量 $\displaystyle \frac{X_{1}-X_{2}}{\sqrt{X_{3}^{2}+X_{4}^{2}}}$ 的分布为 （A）$N(0,2)$ ． （B）$t(2)$ ． （C）$\chi^{2}(2)$ ． （D）$F(2,2)$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：$X_1-X_2\sim N(0,2\sigma^2)$，标准化得$\displaystyle \frac{X_1-X_2}{\sqrt{2}\sigma}\sim N(0,1)$。 步骤2：$\displaystyle \frac{X_3^2+X_4^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(2)$，且与分子独立，故统计量$\displaystyle \frac{(X_1-X_2)/(\sqrt{2}\sigma)}{\sqrt{(X_3^2+X_4^2)/(2\sigma^2)}}=\frac{X_1-X_2}{\sqrt{X_3^2+X_4^2}}\sim t(2)$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定分子的分布
由于 $X_1, X_2$ 独立同分布于 $N(0, \sigma^2)$，则 $X_1 - X_2 \sim N(0, 2\sigma^2)$。标准化得 $\frac{X_1 - X_2}{\sqrt{2}\sigma} \sim N(0,1)$。
公式：$X_1 - X_2 \sim N(0, 2\sigma^2)$
提示：注意方差的可加性：$Var(X_1 - X_2) = Var(X_1) + Var(X_2) = 2\sigma^2$。
步骤 2/3
目标：确定分母的分布
由于 $X_3, X_4$ 独立同分布于 $N(0, \sigma^2)$，则 $\frac{X_3}{\sigma}, \frac{X_4}{\sigma} \sim N(0,1)$，且相互独立，故 $\frac{X_3^2 + X_4^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(2)$。
公式：$\frac{X_3^2 + X_4^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(2)$
提示：卡方分布的定义：独立标准正态变量的平方和。
步骤 3/3
目标：构造 t 分布
分子和分母独立，构造 t 统计量：$\frac{(X_1 - X_2)/(\sqrt{2}\sigma)}{\sqrt{(X_3^2 + X_4^2)/(2\sigma^2)}} = \frac{X_1 - X_2}{\sqrt{X_3^2 + X_4^2}} \sim t(2)$。
公式：$t = \frac{Z}{\sqrt{Y/n}}$，其中 $Z \sim N(0,1)$，$Y \sim \chi^2(n)$ 且独立。
提示：注意分母的自由度为2，因此 t 分布的自由度为2。
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