📝 上海交通大学 2026年高等代数真题

1．（10 分）证明：对任意相异整数 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ ，多项式

$$
f(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right)-1
$$

在有理数域上不可约．

2．（20分）已知线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+2 x_{2}+2 x_{4}=0 \\
x_{1}-2 x_{2}+(b-1) x_{3}+x_{4}=1 \\
4 x_{1}-4 x_{2}+3 x_{3}+5 x_{4}=a
\end{array}\right.
$$

解空间的维数是 2 ，求 $\displaystyle a, b$ 的值并求出方程组的通解．（题目表述有误，非齐次线性方程组的解集不构成线性空间，因此不存在＂维数＂一说）

3．（20分）设 $V$ 是复数域上的有限维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 是 $V$ 的一组基，$V$ 到 $V$ 的线性算子 $\displaystyle \varphi$ 在 $V$上的作用如下：

$$
\varphi\left(\alpha_{1}\right)=5 \alpha_{1}, \varphi\left(\alpha_{2}\right)=5 \alpha_{2}, \varphi\left(\alpha_{3}\right)=3 \alpha_{1}+2 \alpha_{2}+5 \alpha_{3}, \varphi\left(\alpha_{4}\right)=6 \alpha_{4}
$$

（1）求 $\displaystyle \varphi$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 下的矩阵 $A$ ．
（2）确定 $A$ 的若尔当标准型 $J$ ．
（3）试找 $V$ 的一组新的基，使得 $\displaystyle \varphi$ 在其下的矩阵为 $J$ ．

4．（ 20 分）假设 $A$ 和 $B$ 是 $\displaystyle 3 \times 3$ 的实矩阵，且满足条件

$$
\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(B)=\operatorname{det}(A+B)=\operatorname{det}(A-B)=0 .
$$

证明：对于任何实数 $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$ ，都有 $\displaystyle \operatorname{det}(x A+y B)=0$ ．

5．（20 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right)$ ．
（1）计算 $A$ 的奇异值 $\displaystyle s_{1} \geq s_{2}>0$ ．
（2）写出 $A$ 的奇异值分解．

6．（20分）设 $V$ 是有限维内积空间， $\displaystyle \mathscr{P} \in L(V)$ 满足 $\displaystyle \mathscr{P}^{2}=\mathscr{P}$ ，证明： $\displaystyle \mathscr{P}$ 是某个子空间 $U$ 上的投影算子当且仅当 $\displaystyle \mathscr{P}$ 是自伴的．

7．（20 分）证明：实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的内积空间 $V$ 中保持任意两个向量内积不变的变换一定是线性的，从而是正交变换。

8．（20 分）任取数域 $F$ 上的一个 $\displaystyle m \times n$ 的矩阵 $\displaystyle A, n \times s$ 的矩阵 $B$ ．
（1）证明：$\displaystyle r(A B)+n \geq r(A)+r(B)$ ，此处 $r$ 为矩阵的秩函数．
（2）证明：上述等式成立当且仅当 $\displaystyle N(A) \subset C(B)$ ，此处 $\displaystyle N(A)$ 为矩阵 $A$ 的零空间，$\displaystyle C(B)$ 为矩阵 $B$ 的列空间．