📝 上海大学 2026年高等代数真题

1．计算下列矩阵的 Jordan 标准型

$$
\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
-4 & 4 & 0 \\
-2 & 1 & 2
\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{lll}
3 & -1 & 0 \\
6 & -3 & 2 \\
8 & -6 & 5
\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{ccc}
4 & -5 & 7 \\
1 & -4 & 9 \\
-4 & 0 & 5
\end{array}\right)
$$

2．$A$ 是六阶复方阵

$$
A=\left(\begin{array}{llllll}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)
$$

求（1）$\displaystyle A^{2026}$
（2）求矩阵 $\displaystyle A^{2}+2 A+I$ 的特征值

3．$\displaystyle A, B$ 为实对称矩阵，$A$ 正定。证明（1）存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle A=P P^{T}, B=P \operatorname{diag}\left\{\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots, \mu_{n}\right\} P^{T}$
（2）证明：$\displaystyle A+B$ 正定的充要条件是 $\displaystyle A^{-1} B$ 的特征值大于 -1

判断题
（1）$U$ 是酉矩阵，$\displaystyle U^{*}$ 是 $U$ 的共轭转置，则 $U$ 的所有特征值的模长为 1
（2）$\displaystyle A, B$ 为二阶复矩阵，$A$ 和 $B$ 有相同的迹和行列式，则 $\displaystyle A, B$ 一定相似
（3）$\displaystyle A, B$ 为 $\displaystyle m \times n$ 和 $\displaystyle n \times k$ 阶复矩阵，$\displaystyle C=A B$ ，则 $\displaystyle \operatorname{rank}(C) \leq \min \{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}$
（4）$\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶复方阵，则存在 $\displaystyle A B-B A=I_{n}$
（5）$\displaystyle U_{1}, U_{2}, U_{3}$ 是 $V$ 的子空间
$\displaystyle \operatorname{dim}\left(U_{1}+U_{2}+U_{3}\right)=\operatorname{dim}\left(U_{1}\right)+\operatorname{dim}\left(U_{2}\right)+\operatorname{dim}\left(U_{3}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{2}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{3}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{2} \cap U_{3}\right)+2 \operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{2} \cap U_{3}\right)$证明题