📝 北京工业大学 2023年高等代数真题
第1题
1．（20 分）设 $\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}-x, n \geq 2$ ，求下列 $\displaystyle n-1$ 阶行列式
$$
\left|\begin{array}{cccc}
f_{n}(x) & f_{n-1}(x) & \cdots & f_{2}(x) \\
f_{n}(x+1) & f_{n-1}(x+1) & \cdots & f_{2}(x+1) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
f_{n}(x+n-2) & f_{n-1}(x+n-2) & \cdots & f_{2}(x+n-2)
\end{array}\right|
$$
$$
\left|\begin{array}{cccc}
f_{n}(x) & f_{n-1}(x) & \cdots & f_{2}(x) \\
f_{n}(x+1) & f_{n-1}(x+1) & \cdots & f_{2}(x+1) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
f_{n}(x+n-2) & f_{n-1}(x+n-2) & \cdots & f_{2}(x+n-2)
\end{array}\right|
$$
第2题
2．（20 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵．$\displaystyle A_{k}$ 是 $A$ 去掉第 $k$ 行剩下的 $\displaystyle n-1$ 行所组成的矩阵．$\displaystyle A_{i j}$表示 $A$ 中元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式．
（1）若 $\displaystyle |A| \neq 0$ ，证明 $\displaystyle \left(A_{k 1}, A_{k 2}, \cdots, A_{k n}\right)^{T}$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A_{k} X=0$ 的一个基础解系．
（2）若 $\displaystyle |A|=0$ ，且元素 $\displaystyle a_{k l}$ 的代数余子式 $\displaystyle A_{k l} \neq 0$ ，证明 $\displaystyle \left(A_{k 1}, A_{k 2}, \cdots, A_{k n}\right)^{T}$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系．
（1）若 $\displaystyle |A| \neq 0$ ，证明 $\displaystyle \left(A_{k 1}, A_{k 2}, \cdots, A_{k n}\right)^{T}$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A_{k} X=0$ 的一个基础解系．
（2）若 $\displaystyle |A|=0$ ，且元素 $\displaystyle a_{k l}$ 的代数余子式 $\displaystyle A_{k l} \neq 0$ ，证明 $\displaystyle \left(A_{k 1}, A_{k 2}, \cdots, A_{k n}\right)^{T}$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系．
第3题
3．（20 分）已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}a & c & -1 \\ 1-c & -a & 0 \\ 5 & 3 & b\end{array}\right)$ 有一特征向量 $\displaystyle \alpha=(-1,1,-1)^{T}$ ．
（1）若 $\displaystyle |A|=0$ ，求 $\displaystyle a, b, c$ 及 $A$ 的所有特征值，问 $A$ 是否可以对角化？为什么？
（2）若 $\displaystyle |A|=-1$ ，求 $\displaystyle a, b, c$ 及 $A$ 的所有特征值，问 $A$ 是否可以对角化？此时求 $A$ 的 Jordan 标准形 $J$及可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=J$ ．
（1）若 $\displaystyle |A|=0$ ，求 $\displaystyle a, b, c$ 及 $A$ 的所有特征值，问 $A$ 是否可以对角化？为什么？
（2）若 $\displaystyle |A|=-1$ ，求 $\displaystyle a, b, c$ 及 $A$ 的所有特征值，问 $A$ 是否可以对角化？此时求 $A$ 的 Jordan 标准形 $J$及可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=J$ ．
第4题
4．（20分）设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基．用 $\displaystyle V_{1}$ 表示 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}$生成的子空间，令 $\displaystyle V_{2}=\left\{\sum_{i=1}^{n} k_{i} \alpha_{i} \mid \sum_{i=1}^{n} k_{i}=0, k_{i} \in F\right\}$ ．
（1）证明：$\displaystyle V_{2}$ 是 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ；
（2）设 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \varphi$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵 $A$ 是置换矩阵（即 $A$ 每行每列只有一个元素为 1 ，其余元素为 0 ），证明：$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间。
（1）证明：$\displaystyle V_{2}$ 是 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ；
（2）设 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \varphi$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵 $A$ 是置换矩阵（即 $A$ 每行每列只有一个元素为 1 ，其余元素为 0 ），证明：$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间。
第5题
5．（20分）设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 是 $V$ 的一组标准正交基．End $\displaystyle (V)$ 表示 $V$ 上全体线性变换构成的线性空间。定义 $\displaystyle \langle\sigma, \tau\rangle=\sum_{i=1}^{n}\left(\sigma\left(\varepsilon_{i}\right), \tau\left(\varepsilon_{i}\right)\right)$ ，其中 $\displaystyle \sigma, \tau \in \operatorname{End}(V), ~(, ~)$ 为 $V$ 上的内积．
（1）证明 〈 ，〉为 $\displaystyle \operatorname{End}(V)$ 上的内积；
（2）求 $\displaystyle \operatorname{End}(V)$ 的一组标准正交基．
（1）证明 〈 ，〉为 $\displaystyle \operatorname{End}(V)$ 上的内积；
（2）求 $\displaystyle \operatorname{End}(V)$ 的一组标准正交基．
第6题
6．（20 分）考虑实对称矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}A & \alpha \\ \alpha^{T} & 1\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle \alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)^{T}$ ．
（1）若 $A$ 可逆，证明：$\displaystyle |B|=|A|\left(1-\alpha^{T} A^{-1} \alpha\right)=\left|A-\alpha \alpha^{T}\right|$ ；
（2）证明：矩阵 $\displaystyle A-\alpha \alpha^{T}$ 正定当且仅当矩阵 $A$ 正定，且 $\displaystyle \alpha^{T} A^{-1} \alpha<1$ ．
（1）若 $A$ 可逆，证明：$\displaystyle |B|=|A|\left(1-\alpha^{T} A^{-1} \alpha\right)=\left|A-\alpha \alpha^{T}\right|$ ；
（2）证明：矩阵 $\displaystyle A-\alpha \alpha^{T}$ 正定当且仅当矩阵 $A$ 正定，且 $\displaystyle \alpha^{T} A^{-1} \alpha<1$ ．
第7题
7．（30 分）设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间．$\displaystyle \sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{s}$ 都是 $V$ 上的非零线性变换． $\displaystyle \operatorname{rank} \sigma$ 表示线性变换 $\displaystyle \sigma$ 的秩。
（1）证明：存在 $\displaystyle \alpha \in V$ ，使得 $\displaystyle \sigma_{i}(\alpha) \neq 0, i=1,2, \cdots, s$ ；
（2）令 $\displaystyle \sigma=\sigma_{1}+\sigma_{2}+\cdots+\sigma_{s}$ ，证明：$\displaystyle \sigma$ 是幂等变换且 $\displaystyle \operatorname{rank} \sigma=\sum_{i=1}^{s} \operatorname{rank} \sigma_{i}$ 的充要条件为 $\displaystyle \sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{s}$都是幂等变换，且 $\displaystyle \sigma_{i} \sigma_{j}=0(i \neq j)$ ．
（1）证明：存在 $\displaystyle \alpha \in V$ ，使得 $\displaystyle \sigma_{i}(\alpha) \neq 0, i=1,2, \cdots, s$ ；
（2）令 $\displaystyle \sigma=\sigma_{1}+\sigma_{2}+\cdots+\sigma_{s}$ ，证明：$\displaystyle \sigma$ 是幂等变换且 $\displaystyle \operatorname{rank} \sigma=\sum_{i=1}^{s} \operatorname{rank} \sigma_{i}$ 的充要条件为 $\displaystyle \sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{s}$都是幂等变换，且 $\displaystyle \sigma_{i} \sigma_{j}=0(i \neq j)$ ．