📝 北京工业大学 2026年高等代数真题

1．计算 $n$ 阶行列式

$$
D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}
a & a+b & \cdots & a+b & a+b \\
a-b & a & \cdots & a+b & a+b \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a-b & a-b & \cdots & a & a+b \\
a-b & a-b & \cdots & a-b & a
\end{array}\right| .
$$

2．设 4 阶方阵 $A$ 的秩是 $\displaystyle 3, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 是方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的三个不同的解，且满足

$$
\eta_{1}+\eta_{2}+\eta_{3}=(3,3,0,3)^{\mathrm{T}}, 2 \eta_{2}+3 \eta_{3}=(6,2,3,0)^{\mathrm{T}} .
$$

（1）证明：$\displaystyle \beta \neq 0$ ，即 $\displaystyle \beta$ 不是零向量．
（2）求方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的通解．

3．设 $A$ 是 $\displaystyle n \times n$ 阶矩阵 $\displaystyle (n \geq 2)$ ，满足 $\displaystyle A^{2}=A, B, C$ 是 $\displaystyle m \times n$ 阶矩阵．
（1）证明：$\displaystyle r(A)+r\left(A-E_{n}\right)=n$ ．
（2）若 $\displaystyle E_{n}+C^{\mathrm{T}} B$ 可逆，则 $\displaystyle E_{m}+B C^{\mathrm{T}}$ 可逆，并求 $\displaystyle E_{m}+B C^{\mathrm{T}}$ 的逆．

4．解答如下问题：
（1）设 $\displaystyle A, B$ 是 $\displaystyle n \times n$ 阶实对称矩阵，且 $A$ 是正定矩阵，证明：存在 $\displaystyle n \times n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{\mathrm{T}} A P, P^{\mathrm{T}} B P$ 同时为对角矩阵。
（2）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}$ ，写出该二次型的矩阵，并用正交线性替换把该二次型化为标准型，判断该二次型是否正定．

5．设 $P$ 是一个数域，记 $\displaystyle V_{1}$ 是由向量

$$
\alpha_{1}=(1,2,1,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(-1,1,1,1)^{\mathrm{T}}, \alpha_{3}=(0,3,2,1)^{\mathrm{T}}
$$

生成的 $\displaystyle P^{4}$ 的子空间，即 $\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，记 $\displaystyle V_{2}$ 是由向量

$$
\beta_{1}=(2,-1,0,1)^{\mathrm{T}}, \beta_{2}=(1,-1,3,7)^{\mathrm{T}}
$$

生成的 $\displaystyle P^{4}$ 的子空间，即 $\displaystyle V_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)$ ，分别求 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}, V_{1}+V_{2}$ 的维数和一组基．

6．记 $\displaystyle \mathbb{C}^{2 \times 2}$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的全体 $\displaystyle 2 \times 2$ 阶矩阵构成的线性空间，定义 $\displaystyle \mathbb{C}^{2 \times 2}$ 上的线性变换 $\displaystyle \sigma(X)=A X$ ，对任意的 $\displaystyle X \in \mathbb{C}^{2 \times 2}, A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right)$ ．
（1）求 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle E_{11}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{12}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{21}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right), E_{22}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 下的矩阵。
（2）求 $\displaystyle \sigma$ 的值域的维数和一组基以及 $\displaystyle \sigma$ 的核的维数和一组基．

7．设 $V$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上全体 $\displaystyle n \times n(n \geq 2)$ 阶实对称矩阵构成的线性空间，对任意 $\displaystyle A, B \in V$ ，定义 $\displaystyle (A, B)=\operatorname{tr}(A B)$ ，其中 $\displaystyle \operatorname{tr}(A B)$ 表示 $\displaystyle A B$ 的迹．
（1）证明：$V$ 是欧氏空间．
（2）$\displaystyle W=\{A \in V \mid \operatorname{tr}(A)=0\}$ ．证明：$W$ 是 $V$ 的子空间，并求 $W$ 的维数．
（3）求 $W$ 的正交补空间 $\displaystyle W^{\perp}$ 的维数．