📝 华东师范大学 2014年高等代数真题

1．（10 分）计算行列式 $\displaystyle D=\left|\begin{array}{cccc}a^{2}+m & b a & c a & d a \\ a b & b^{2}+m & c b & d b \\ a c & b c & c^{2}+m & d c \\ a d & b d & c d & d^{2}+m\end{array}\right|$ ．

2．（15 分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right) \in M_{m \times n}(\mathbb{R}), B=\left(b_{1}, \cdots, b_{m}\right)^{T} \in M_{m \times 1}(\mathbb{R})$ ．证明：线性方程组 $\displaystyle A^{T} A X=A^{T} B$ 一定有解．

3．（15 分）设矩阵 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ 的特征值互不相同。定义

$$
C(A)=\left\{B \in M_{n}(\mathbb{C}) \mid A B=B A\right\}
$$

（1）．验证：$\displaystyle C(A)$ 是复线性空间 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 的线性子空间；
（2）．证明：对于任意 $\displaystyle B, C \in C(A)$ ，有 $\displaystyle B C=C B$ ．

4．（20 分）设 $V$ 是数域（ $\displaystyle \mathbb{K}$ ）上的 4 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 是 $V$ 的一组基。若 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变换，且在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 下的矩阵为准对角阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ ，试求所有 $\displaystyle \mathscr{A}$－不变子空间。

5．（15 分）设 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{R})$ 是半正定矩阵，且存在整数 $\displaystyle m>1$ ，使得 $\displaystyle A^{m}=E_{n}$ ，求 $A$ ；若将上述＂半正定＂的条件改为＂半负定＂，你能得出什么结论？

6．（20 分）设 $V$ 是实数域上的 $n$ 维欧式空间，$\displaystyle e_{1}, \cdots, e_{n}$ 是一组基，满足内积 $\displaystyle \left(e_{i}, e_{j}\right) \leqslant 0(i \neq j)$ 。
（1）．证明：存在一个非零向量 $\displaystyle v \in V$ ，满足 $\displaystyle \left(e_{i}, v\right) \geqslant 0, \forall i$ ．
（2）．假设 $\displaystyle v=a_{1} e_{1}+\cdots+a_{n} e_{n} \in V$ 是任何满足（1）的向量，证明：$\displaystyle a_{i} \geqslant 0, i=1,2, \cdots, n$ ．
（3）．设 $\displaystyle u=b_{1} e_{1}+\cdots+b_{n} e_{n} \in V$ 是另一个满足（1）的向量，并定义 $\displaystyle w=c_{1} e_{1}+\cdots+c_{n} e_{n} \in V$ ，其中

$$
c_{i}=\min \left\{a_{i}, b_{i}\right\}, i=1,2, \cdots, n,
$$

证明：向量 $w$ 也满足（1）。

7．（25 分）设 $n$ 阶矩阵

$$
A_{n}=\left(\begin{array}{cccccc}
-2 & 1 & & & & \\
1 & -2 & 1 & & & \\
& 1 & -2 & 1 & & \\
& & 1 & \ddots & \ddots & \\
& & & \ddots & \ddots & 1 \\
& & & & 1 & -2
\end{array}\right)
$$

其特征多项式记为 $\displaystyle f_{n}(\lambda)$ 。
（1）．证明：$\displaystyle f_{n}(\lambda)=(\lambda+2) f_{n-1}(\lambda)-f_{n-2}(\lambda)$ ．
（2）．求 $\displaystyle f_{1}(\lambda), f_{2}(\lambda), f_{3}(\lambda)$ ，并求相应的特征值及特征向量．
（3）．试写出 $\displaystyle A_{3}$ 的若尔当典范型．

8．（15 分）设 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ 是一个幂零矩阵（即，存在正整数 $m$ ，使得 $\displaystyle A^{m}=0$ ），定义矩阵
$\displaystyle \exp (A)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^{k}}{k!}$ 。证明： $\displaystyle \exp (A)$ 是可逆矩阵，且 $\displaystyle \exp (A)^{-1}=\exp (-A)$ ．

9．（15 分）设 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 都是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶非零矩阵，

$$
A_{i}^{2}=A_{i}(i=1,2, \cdots, n), A_{i} A_{j}=0(i \neq j ; i, j=1,2, \cdots, n) .
$$

（1）．证明：$\displaystyle A_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ 都可以对角化；
（2）．求数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A_{1} P, P^{-1} A_{2} P, \cdots, P^{-1} A_{n} P$ 为对角矩阵。