📝 南京航空航天大学 2026年高等代数真题

1．只记得答案为 $\displaystyle k(1,1,1,1)^{\mathrm{T}}, A X=k(1,1,1,1)^{\mathrm{T}}$ 的解空间．

2．$\displaystyle V_{1} \neq V_{2}$ 时 $\displaystyle a, b$ 的取值 $\displaystyle (a=2, b \in \mathbb{R}$ 或 $\displaystyle b=1, a \in \mathbb{R}), \operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)=3$ ．

4．设矩阵 $\displaystyle J=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right), A=3 E+2 J+2 J^{2}$ ．
（1）求 $A$ 的最小多项式．
（2）求与 $A$ 可交换的矩阵空间的基与维数．

5．解答如下问题：
（1）$n$ 阶矩阵 $A$ 正定，证明：$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\left|\begin{array}{cc}A & X \\ X^{\mathrm{T}} & 0\end{array}\right|$ 负定．
（2）$\displaystyle \alpha, \beta$ 为 $n$ 维列向量，证明：$\displaystyle \left|A+\alpha^{\mathrm{T}} \beta\right|=|A|+\alpha^{\mathrm{T}} A^{*} \beta$ ．

6．解答如下问题：
（1）已知 $\displaystyle \bar{A}^{\mathrm{T}} A=E$ ，证明：$A$ 特征值模长为 1 ．
（2）已知 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵，其中 $\displaystyle n \geq 2$ ，且 $A$ 正定，$\displaystyle A B$ 的特征值全为 1 ．证明：存在次数小于 $n$ 的多项式 $\displaystyle f(x)$ ，使得 $\displaystyle B=f(A)$ ．

7．已知线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}(X)=A X B$ ，其中 $A$ 为 $m$ 阶方阵，$B$ 为 $n$ 阶方阵，$A$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_{i}, B$ 的特征值为 $\displaystyle \mu_{j}$ ．证明：
（1）$\displaystyle \lambda_{i} \mu_{j}$ 为 $\displaystyle \mathscr{T}$ 的特征值．
（2）存在正整数 $k$ 使得 $\displaystyle \mathscr{T}^{k}=\mathscr{O}$ 等价于存在正整数 $s$ 使得 $\displaystyle A^{s}=O$ 或 $\displaystyle B^{s}=O$ ．

8．已知 $\displaystyle A B-B A=a A$ ．证明：
（1）若 $\displaystyle a \neq 0$ ，则存在可逆矩阵 $P$ 使得 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 同时为上三角矩阵．
（2）若 $\displaystyle a=0$ ，则 $\displaystyle r(A+B)+r(A B) \leq r(A)+r(B)$ ．