📝 山东大学 2026年数学分析真题

1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)$ ．

2．求 $a$ 的范围，使得 $\displaystyle f(x)=x^{a}$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 一致连续．

3．已知定义在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$ 上二阶连续可微的函数 $\displaystyle f(x, y)$ 满足：

$$
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=x^{2}+y^{2}
$$

计算： $\displaystyle \iint_{D}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

4．对于 $\displaystyle k>0$ ，若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}}{n^{k}}=b$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n}}{n^{k}}=0$ ．

5．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{d} x$ ．

6．已知 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{2} \ln (1+n)}$ ，讨论 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上的连续性，以及在 $\displaystyle x=-1$ 和 $\displaystyle x=1$ 处的可导性．

7．已知 $\displaystyle f(x)=x^{3}\left(e^{\frac{1}{x}}+e^{-\frac{1}{x}}-C\right)$ ，满足： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}(f(x)-a x-b)=0$ ．求 $\displaystyle a, b, C$ 并阐述其几何意义．

8．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 连续，且

$$
f(t)=\iint_{x^{2}+y^{2} \leq t^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+t^{4}, t>0
$$

求 $\displaystyle f(t)$ ．

9．已知球面 $\displaystyle \Gamma: x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ ，球 $\displaystyle \Sigma$ 满足：球心在 $\displaystyle \Gamma$ 上，半径为 $R$ ，当 $\displaystyle \Sigma$ 位于 $\displaystyle \Gamma$ 内的面积 $S$ 最大时，求 $R$ 和 $S$ ．