📝 新疆大学 2026年数学分析真题

1．（15 分）求极限：
（1）（ 7 分） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}$ ．
（2）（ 8 分） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{-}}\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{\ln (1-x)}}$ ．

3．（15 分）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导且无界，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 也无界，反之则不然．

4．（15 分）求下列积分：
（1）（ 7 分） $\displaystyle \int x \arcsin x \mathrm{~d} x$ ．
（2）（8 分） $\displaystyle \int_{e^{-1}}^{e}|\ln x| \mathrm{d} x$ ．

5．（15 分）讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{p}}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}(0<x<2 \pi, p>0)$ 的玫散性．

6．（15 分）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{a^{n}+b^{n}}(a>0, b>0)$ 的收敛域．

7．（15 分）讨论下列广义积分的敛散性：
（1）（ 7 分） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{x}{1-e^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（2）（ 8 分） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．

8．（ 15 分）证明函数

$$
f(x, y)= \begin{cases}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{cases}
$$

在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续且偏导数存在．但偏导数在点 $\displaystyle (0,0)$ 不连续，而 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微．

9．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明不等式：

$$
\left[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right]^{2} \leq(b-a) \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x
$$

其中等号当且仅当 $\displaystyle f(x)$ 为常值函数时成立．

10．（15 分）计算第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $S$ 为几何体 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq z \leq 1$ 的边界曲面．