📝 武汉理工大学 2026年高等代数真题

1．计算 $n$ 阶行列式

$$
D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}
1+b_{1} & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1+b_{2} & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1 & 1+b_{3} & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & 1 & 1 & \cdots & 1+b_{n}
\end{array}\right|\left(b_{i} \neq 0, i=1,2, \cdots, n\right)
$$

2．已知矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
2 & 4 & 0 & 0 \\
2 & 6 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 0 & -2 & 0
\end{array}\right)
$$

若 $\displaystyle \left[\left(\frac{1}{4} A\right)^{*}\right]^{-1} B A^{-1}=\frac{1}{2} A B+6 E$ ，求 $B$ ．

3．设向量

$$
\alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}
a \\
a \\
a
\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}
b+1 \\
2 b+1 \\
b+1
\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}
2 \\
3 \\
b+4
\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
2 b+1
\end{array}\right) .
$$

（1）$\displaystyle a, b$ 为何值时，$\displaystyle \beta$ 不可以表示成 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的线性组合？
（2）$\displaystyle a, b$ 为何值时，$\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出？并写出线性表达式．

4．设 $P$ 为数域，在 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 中，令

$$
V_{1}=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}
x & -x \\
y & z
\end{array}\right) \right\rvert\, x, y, z \in P\right\}, V_{2}=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}
a & b \\
-a & c
\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in P\right\}
$$

（1）判断 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是否为 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 的子空间，并说明理由．
（2）分别求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}, V_{1} \cap V_{2}$ 的维数和一组基．

5．已知 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的线性变换 $\displaystyle \sigma$ 对基

$$
\varepsilon_{1}=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
2
\end{array}\right), \varepsilon_{2}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
1
\end{array}\right), \varepsilon_{3}=\left(\begin{array}{c}
3 \\
-1 \\
-6
\end{array}\right)
$$

的像为

$$
\sigma\left(\varepsilon_{1}\right)=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
1
\end{array}\right), \sigma\left(\varepsilon_{2}\right)=\left(\begin{array}{c}
0 \\
-1 \\
-2
\end{array}\right), \sigma\left(\varepsilon_{3}\right)=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
-1 \\
3
\end{array}\right)
$$

（1）求 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵。
（2）设 $\displaystyle X=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle \sigma(X)$ ．
（3）已知 $\displaystyle \sigma(Y)$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的坐标向量为 $\displaystyle \left(\begin{array}{c}2 \\ -4 \\ -2\end{array}\right)$ ，求 $Y$ ．

6．已知实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=t\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3}$ ．
（1）若 $f$ 正定，求 $t$ 的取值范围．
（2）$\displaystyle t=2$ 时，求 $f$ 的规范形，并写出所作的非退化线性替换．

7．用 $J$ 表示元素全为 1 的 $n$ 阶方阵 $\displaystyle (n \geq 2)$ ，设 $\displaystyle f(x)=a+b x \in \mathbb{Q}[x]$ ，令 $\displaystyle A=f(J)$ ．
（1）求 $J$ 的全部特征值及特征向量．
（2）求 $A$ 的所有特征子空间．
（3）问 $A$ 是否可对角化？若可以，求可逆矩阵 $\displaystyle P \in \mathbb{Q}^{n \times n}$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角阵．

8．设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，满足 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ．证明：
（1）$\displaystyle V=\operatorname{Im} \sigma \oplus \operatorname{Ker} \sigma$ ．
（2） $\displaystyle \operatorname{Im} \sigma, \operatorname{Ker} \sigma$ 均为 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间当且仅当 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ．

9．设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶实对称正定矩阵，证明：$\displaystyle |A+B|>|A|+|B|$ ．